Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 60 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en aluminium est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 50 mm et une longueur de 1 m ; le tronçon BC a un diamètre de 40 mm et une longueur de 2 m. Un couple de 750 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

T = 750 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 40 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 200 N·m est appliqué en C, à 2,5 m de A et 1,2 m de B. Trouvez l’angle de rotation φ_C de la section C, en degrés.

d = 40 mmT₀ = 200 N·ma = 2,5 mb = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mw = 20 kN/m de 2 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 160 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 240 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 20 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 160 mmH = 240 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 15° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 28 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 8 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 795,8 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 25·1000/314,2 = 79,58 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 79,58/100000 = 0,0007958 = 795,8 µε

Réponse

ε = 795,8 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 298,4 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 298,4 MPa

Réponse

σ_max = 298,4 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 59,68 MPa

Contrainte dans chaque tronçon

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Réponse

τ_max = 59,68 MPa

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 0,9479 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,2/3,7 = 64,86 N·m

T_B = 200·2,5/3,7 = 135,1 N·m

Rotation de C

Utilisez le tronçon AC : il est encastré en A et transmet T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 64865·2500/(39000·251327) = 0,01654 rad = 0,9479°

Réponse

φ_C = 0,9479°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 77 kN, R₂ = 77 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 212, M_D = 246 kN·m, M_E = 212, M_F = 130, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 246 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 38,4 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·2·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 16/20 = 2,8 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 16·2,8 − 20·0,8²/2 = 38,4 kN·m

Réponse

M_max = 38,4 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 10,22 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

âme: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·135 + 1680·60)/8880 = 120,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 240·30³/12 + 7200·(135 − 120,8)² = 1,99 × 10⁶ mm⁴

âme: 14·120³/12 + 1680·(60 − 120,8)² = 8,229 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,99 × 10⁶ + 8,229 × 10⁶ = 1,022 × 10⁷ mm⁴ = 10,22 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 10,22 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 30,22 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 240 − 2·16 = 208 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·240³ − 154·208³)/12

I_x = 6,883 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 120 − 16 = 104 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·104/6,883 × 10⁷ = 30,22 MPa

Réponse

σ_j = 30,22 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 84,85 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((130 − 10)/2)² + −60²) = 84,85 MPa

Réponse

τ_max = 84,85 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 34,64 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −0·0,5 + 40·0,866 = 34,64 MPa

Réponse

τ_θ = 34,64 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 15,56 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 8,889 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006667 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,56 mm

Réponse

δ_B = 15,56 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 12 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

Réponse

R_B = 12 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 13,25 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2000 = 4000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13,25 kN

Réponse

P_cr = 13,25 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 4,318 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Réponse

σ_cr = 4,318 MPa

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