Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 45 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 100 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 20 mm est soumise à un couple de 30 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 250 mm tournent de 0,7° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 30 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,7°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 25 mm est encastré en A. Un couple de 400 N·m agit en B, à 3 m de A, et un couple de 100 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 3 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 25 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 3 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 6 m15 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 15 kN à 4 mw = 2 kN/m de 0 à 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 40 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 60 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmcentre du trou: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 50 MPa en traction et 100 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 50 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 60° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 3 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant M_A à l’encastrement.

L = 3 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 85 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 85 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 11,46 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 573/100000 = 0,00573 = 5730 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,00573·2000 mm = 11,46 mm

Réponse

δ = 11,46 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 7,086 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203,7·1500/70000 = 4,365 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·1000/117000 = 2,721 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,086 mm

Réponse

δ = 7,086 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 39,08 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,7·π/180 = 0,01222 rad

Module de cisaillement

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(15708·0,01222) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Réponse

G = 39,08 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 163 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 400 = 500 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Réponse

τ_max = 163 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 92,5 kN, R₂ = 67,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 250, M_D = 285 kN·m, M_E = 240, M_F = 135, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 285 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 7 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·4 + 2·5·2,5

R_B = 85/5 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 17 = 8 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 8·1 − 2·1·0,5 = 7 kN·m

Réponse

M_x = 7 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·100 − 1257·60)/(24000 − 1257) = 102,2 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,21² = 80,12 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−42,21² = 2,365 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 77,75 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 13,82 kN·m

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Centre de gravité

ȳ = (1600·245 + 4800·120)/6400 = 151,3 mm

bord supérieur: c = 250 − 151,3 = 98,75 mm

Moment quadratique

I = 160·10³/12 + 1600·93,75² + 20·240³/12 + 4800·31,25² = 4,18 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 100·4,18 × 10⁷/98,75 = 42,33 kN·m

bord inférieur: M = 50·4,18 × 10⁷/151,3 = 13,82 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 13,82 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 13,82 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 18,43 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 50 − −30) = 36,87°

Angle sur l’élément

θ_p = 18,43°

Réponse

θ_p = 18,43°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 7,141 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 25 + 105·−0,5 + 40·0,866 = 7,141 MPa

Réponse

σ_θ = 7,141 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 42,78 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 10,7 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01604 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 42,78 mm

Réponse

δ_B = 42,78 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: M_A = 13,5 kN·m

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Moment à l’encastrement

Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 54 − 40,5 = 13,5 kN·m

Réponse

M_A = 13,5 kN·m

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 62,01 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·4000 = 8000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Réponse

P_cr = 62,01 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 51,47 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51,47 mm

Réponse

d = 51,47 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 155,4, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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