Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 95 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton de 0,8 m de long transmet un couple de 100 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 1,5°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 100 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 10 kW à 500 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 50 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 1° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 2 kN/m de 0 à 6 mx = 5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 12 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 260 mm de large avec deux ailes verticales de 160 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 10 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 260 mmh = 160 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 150 mm × 200 mm a une découpe rectangulaire de 50 mm de large et 50 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 130 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 200 mmdécoupe: 50 × 50 mmcentre du trou: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 15° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 60° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 9 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 10610 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1061/100000 = 0,01061 = 10610 µε

Réponse

ε = 10610 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,987 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·500/117000 = 0,8271 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/70000 = 2,16 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,987 mm

Réponse

δ = 2,987 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: d = 29,89 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire requis

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·800/(39000·0,02618) = 78353 mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)^1/4 = 29,89 mm

Réponse

d = 29,89 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 41,12 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 41,12 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(26,89, 41,12) = 41,12 mm

Réponse

d = 41,12 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −4 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 6 − 2·5 = −4 kN

Réponse

V_x = −4 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 15 kN, R₂ = 35 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60 kN·m, M_D = 10, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 60 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 14,56 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

deux ailes: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Centre de gravité

ȳ = (2600·5 + 3000·85)/5600 = 47,86 mm

Théorème de Huygens

excipient: 260·10³/12 + 2600·(5 − 47,86)² = 4,797 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·10·150³/12 + 3000·(85 − 47,86)² = 9,764 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,797 × 10⁶ + 9,764 × 10⁶

I_x = 1,456 × 10⁷ mm⁴ = 14,56 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 14,56 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 97,02 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·100 − 2500·130)/(30000 − 2500) = 97,27 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·200³/12 + 30000·2,727² = 100,2 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

50·50³/12 + 2500·32,73² = 3,199 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 97,02 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 97,02 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −89,95 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −5 − 75·0,866 − 40·0,5 = −89,95 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 79,95 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −89,95 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 79,82 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 35 + −55·−0,5 + 20·0,866 = 79,82 MPa

Réponse

σ_θ = 79,82 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 27,27 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 9000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 9000·2000³/(3·1,76 × 10¹²) = 13,64 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 13,64 mm

Les additionner

δ = 13,64 + 13,64 = 27,27 mm

Réponse

δ = 27,27 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 7,191 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·1500⁴/(384·11000·4,167) = 7,191 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,191 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 7,191 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 35,09 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35,09 kN

Réponse

P_cr = 35,09 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 100,7 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Réponse

σ_cr = 100,7 MPa

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