Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 55 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 40 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 100 N·m est appliqué en C, à 0,5 m de A et 1,2 m de B. Trouvez le couple de réaction T_A au mur A.

d = 40 mmT₀ = 100 N·ma = 0,5 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 7 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mw = 3 kN/m de 0 à 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 4 mw = 10 kN/m de 0 à 3 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 200 mm × 240 mm a un trou circulaire de diamètre 50 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 84 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmcentre du trou: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant M_A à l’encastrement.

L = 3 mP = 35 kN à 1,5 m

M_A = kN·m

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 5329 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 373/70000 = 0,005329 = 5329 µε

Réponse

ε = 5329 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 6,072 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·2000/117000 = 1,915 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486,3·1000/117000 = 4,156 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,072 mm

Réponse

δ = 6,072 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 2,85 °

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·251327) = 0,04974 rad

φ = 0,04974·180/π = 2,85°

Réponse

φ = 2,85°

4.Torsion des arbres

Réponse: T_A = 70,59 N·m

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1,2/1,7 = 70,59 N·m

T_B = 100·0,5/1,7 = 29,41 N·m

Réponse

T_A = 70,59 N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 31,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Couper en x = 7 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 15·7 − 3·7·3,5 = 31,5 kN·m

Réponse

M_x = 31,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 1,875 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, appliquée en x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·1,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18,75/10 = 1,875 m

Réponse

x₀ = 1,875 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (48000·120 − 1963·84)/(48000 − 1963) = 121,5 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·240³/12 + 48000·−1,535² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−37,54² = 3,073 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 227,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 176,7 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

âme: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·107,5 + 1400·50)/4400 = 89,2 mm

Théorème de Huygens

semelle: 200·15³/12 + 3000·(107,5 − 89,2)² = 1,06 × 10⁶ mm⁴

âme: 14·100³/12 + 1400·(50 − 89,2)² = 3,318 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,06 × 10⁶ + 3,318 × 10⁶ = 4,379 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 115 − 89,2 = 25,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·25,8/4,379 × 10⁶ = 176,7 MPa

Réponse

σ_haut = 176,7 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 55,9 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 100)/2)² + −10²) = 55,9 MPa

Réponse

τ_max = 55,9 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = −28,97 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −45·0,866 + 20·0,5 = −28,97 MPa

Réponse

τ_θ = −28,97 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 48,83 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·2500³/(3·1,32 × 10¹²) = 11,84 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 36,99 mm

Les additionner

δ = 11,84 + 36,99 = 48,83 mm

Réponse

δ = 48,83 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: M_A = 19,69 kN·m

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Moment à l’encastrement

Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 52,5 − 32,81 = 19,69 kN·m

Réponse

M_A = 19,69 kN·m

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 71,06 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN

Réponse

P_cr = 71,06 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 9,715 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Réponse

σ_cr = 9,715 MPa

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