Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en cuivre, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 25 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en cuivre (diamètre 40 mm, longueur 300 mm, E = 120 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 100 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: cuivre, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux en laiton (diamètre extérieur 60 mm, diamètre intérieur 45 mm, longueur 2 m) est encastré à une extrémité et soumis à un couple de 200 N·m à l’autre. Trouvez l’angle de torsion φ en degrés.

T = 200 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 50 kW à 500 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 8 mP₁ = 50 kN à 2 mP₂ = 10 kN à 4 m

M_max = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 60 kN à 3 mw = 5 kN/m de 0 à 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 200 mm et un diamètre intérieur d = 168 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 200 mmd = 168 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 200 mm de large et 14 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 320 mm et une âme de 10 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 150 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 200 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 355 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = 70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 2 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 3 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 27 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 725,5 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/117000 = 0,0007255 = 725,5 µε

Réponse

ε = 725,5 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 60,03 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 100000·502655/666279 = 75442 N

Contrainte

σ₂ = 75442/1257 = 60,03 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 60,03 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,6756 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Angle de torsion

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2000/(39000·869767) = 0,01179 rad

φ = 0,01179·180/π = 0,6756°

Réponse

φ = 0,6756°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 49,54 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Réponse

d = 49,54 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 85 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 10·4

R_B = 140/8 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 17,5 = 42,5 kN

Moment sous chaque charge

Gardez la partie à gauche de chaque charge.

sous P₁: M = R_A·2 = 42,5·2 = 85 kN·m

sous P₂: M = R_B·4 = 17,5·4 = 70 kN·m

Plus grande valeur

M_max = 85 kN·m (sous P₁)

Réponse

M_max = 85 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 46,88 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 5·4·2

R_B = 220/4 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 55 = 25 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 25·2,5 − 5·2,5·1,25 = 46,88 kN·m

Réponse

M_x = 46,88 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 65,3 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 9249 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,944 × 10⁷ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(3,944 × 10⁷/9249) = 65,3 mm

Réponse

r = 65,3 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 144,1 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·320³ − 190·292³)/12

I_x = 1,519 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 160 − 14 = 146 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·146/1,519 × 10⁸ = 144,1 MPa

Réponse

σ_j = 144,1 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = 10,28 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 40/42,72 = 0,9363, sin 2θ_s = −(−15)/42,72 = 0,3511

2θ_s = atan2(15, 40) = 20,56°

Angle sur l’élément

θ_s = 10,28°

vérification: θ_s − θ_p = 10,28 − 55,28 = −45°

Réponse

θ_s = 10,28°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,948

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 55 MPa, R = 61,85 MPa

σ₁ = 116,8 MPa, σ₂ = −6,847 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(116,8² − 116,8·(−6,847) + (−6,847)²) = 120,4 MPa

n = 355/120,4 = 2,948

Réponse

n = 2,948

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 17,93 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·2000²·4000²/(3·5,95 × 10¹¹·6000) = 17,93 mm

Réponse

δ_P = 17,93 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 6,845 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 27000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 5,357 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 1,488 mm

Les additionner

δ_max = 5,357 + 1,488 = 6,845 mm

Réponse

δ_max = 6,845 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 73,43 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2800² = 73435 N = 73,43 kN

Réponse

P_cr = 73,43 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 69,09 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Réponse

σ_cr = 69,09 MPa

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