Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 6 mP₁ = 40 kN à 1 mP₂ = 80 kN à 5 m

M_max = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mP = 10 kN à 1 mw = 4 kN/m de 0 à 5 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 180 mm de large et 22 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 300 mm et une âme de 10 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 180 mmH = 300 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 15 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = −10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 0,5 m de A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 20 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 6 mP = 65 kN à 3 m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 21,79 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1017/70000 = 0,01453 = 14526 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,01453·1500 mm = 21,79 mm

Réponse

δ = 21,79 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,3076 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 10,39·1000/70000 = 0,1485 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·500/100000 = 0,1592 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,3076 mm

Réponse

δ = 0,3076 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 2,217 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(26000·79522) = 0,03869 rad

φ = 0,03869·180/π = 2,217°

Réponse

φ = 2,217°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 18,9 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Réponse

d = 18,9 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 73,33 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1 + 80·5

R_B = 440/6 = 73,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 73,33 = 46,67 kN

Moment sous chaque charge

Gardez la partie à gauche de chaque charge.

sous P₁: M = R_A·1 = 46,67·1 = 46,67 kN·m

sous P₂: M = R_B·1 = 73,33·1 = 73,33 kN·m

Plus grande valeur

M_max = 73,33 kN·m (sous P₂)

Réponse

M_max = 73,33 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 18 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 4·5·2,5

R_B = 60/5 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 12 = 18 kN

Où V = 0 ?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (18 − 10)/4 = 2 m

Moment maximal

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 18 kN·m

Réponse

M_max = 18 kN·m

Il se trouve en x = 2 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 167,3 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 300 − 2·22 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·300³ − 170·256³)/12

I_x = 1,673 × 10⁸ mm⁴ = 167,3 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 167,3 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 97,21 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

âme: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·195 + 2520·90)/6120 = 151,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·30³/12 + 3600·(195 − 151,8)² = 6,999 × 10⁶ mm⁴

âme: 14·180³/12 + 2520·(90 − 151,8)² = 1,642 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,999 × 10⁶ + 1,642 × 10⁷ = 2,342 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 151,8 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·151,8/2,342 × 10⁷ = 97,21 MPa

Réponse

σ_bas = 97,21 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 3,17 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 100 − −80) = 6,34°

Angle sur l’élément

θ_p = 3,17°

Réponse

θ_p = 3,17°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −1,221 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 55 + −65·0,766 + 10·−0,6428 = −1,221 MPa

Réponse

σ_θ = −1,221 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 2,104 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa³/(3EI) = 20000·500³/(3·3,96 × 10¹¹) = 2,104 mm

Réponse

δ_P = 2,104 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 20,31 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN

Réponse

R_B = 20,31 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 109,9 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·1000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Réponse

P_cr = 109,9 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 2,999 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Réponse

σ_cr = 2,999 MPa

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