Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 40 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 70 GPa). Les deux mesurent 800 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 200 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 200 kNbarre: Ø40 mm, E = 200 GPatube: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 25 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 0,8 m de A, et un couple de 200 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 1,5 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 25 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 à 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 55 kN à 3 mw = 4 kN/m de 0 à 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 120 mm × 300 mm a une découpe rectangulaire de 80 mm de large et 30 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 195 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 300 mmdécoupe: 80 × 30 mmcentre du trou: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 2 m de A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 26 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 3 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,1893 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 200000·800/8,451 × 10⁸ = 0,1893 mm

Réponse

δ = 0,1893 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 3,278 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 114,3·500/200000 = 0,2858 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1000/117000 = 2,993 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,278 mm

Réponse

δ = 3,278 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,7307 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

φ = 0,01275·180/π = 0,7307°

Réponse

φ = 0,7307°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 228,2 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 500 = 700 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 700 N·m

τ_max = 16·700000/(π·25³) = 228,2 MPa

Réponse

τ_max = 228,2 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 27,5 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Couper en x = 5,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 16·5,5 − 4·5,5·2,75 = 27,5 kN·m

Réponse

M_x = 27,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 10,38 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 4·4·2

R_B = 197/4 = 49,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 49,25 = 21,75 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 21,75·0,5 − 4·0,5·0,25 = 10,38 kN·m

Réponse

M_x = 10,38 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 50,13 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

âme: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·252,5 + 3360·120)/7860 = 195,9 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·25³/12 + 4500·(252,5 − 195,9)² = 1,467 × 10⁷ mm⁴

âme: 14·240³/12 + 3360·(120 − 195,9)² = 3,546 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,467 × 10⁷ + 3,546 × 10⁷ = 5,013 × 10⁷ mm⁴ = 50,13 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 50,13 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·150 − 2400·195)/(36000 − 2400) = 146,8 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·300³/12 + 36000·3,214² = 270,4 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

80·30³/12 + 2400·48,21² = 5,759 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 264,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −39,35 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 100 − 80) = −78,69°

Angle sur l’élément

θ_p = −39,35°

Réponse

θ_p = −39,35°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 23,73 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −−25·0,6428 + 10·0,766 = 23,73 MPa

Réponse

τ_θ = 23,73 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 43,06 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 26000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa³/(3EI) = 26000·2000³/(3·1,61 × 10¹²) = 43,06 mm

Réponse

δ_P = 43,06 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,134 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 0,6066 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 2,527 mm

Les additionner

δ_max = 0,6066 + 2,527 = 3,134 mm

Réponse

δ_max = 3,134 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 62,01 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·4000 = 8000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Réponse

P_cr = 62,01 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 56,65 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/15 = 186,7

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Réponse

σ_cr = 56,65 MPa

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