Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 25 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 30 kW à 750 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 30 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 à 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mP = 45 kN à 5 mw = 12 kN/m de 0 à 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 150 mm × 150 mm a une découpe rectangulaire de 60 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 52,5 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 150 mmh = 150 mmdécoupe: 60 × 20 mmcentre du trou: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 30° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 30° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 11 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,6529 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/117000 = 0,0004353 = 435,3 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0004353·1500 mm = 0,6529 mm

Réponse

δ = 0,6529 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,5285 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 14,15·2000/70000 = 0,4042 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49,74·500/200000 = 0,1243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,5285 mm

Réponse

δ = 0,5285 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,542 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Réponse

φ = 5,542°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 33,89 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·50)) = 33,89 mm

Réponse

d = 33,89 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 33,75 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 30·4,5 − 10·4,5·2,25 = 33,75 kN·m

Réponse

M_x = 33,75 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 262,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 12·10·5

R_B = 825/10 = 82,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 165 − 82,5 = 82,5 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 82,5·5 − 12·5·2,5 = 262,5 kN·m

Réponse

M_x = 262,5 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 22,41 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

âme: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·225 + 3080·110)/4080 = 138,2 mm

Théorème de Huygens

semelle: 100·10³/12 + 1000·(225 − 138,2)² = 7,545 × 10⁶ mm⁴

âme: 14·220³/12 + 3080·(110 − 138,2)² = 1,487 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,545 × 10⁶ + 1,487 × 10⁷ = 2,241 × 10⁷ mm⁴ = 22,41 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 22,41 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (22500·75 − 1200·52,5)/(22500 − 1200) = 76,27 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,268² = 42,22 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

60·20³/12 + 1200·−23,77² = 0,7179 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −76,96 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −20 − 10·0,5 − (−60)·(−0,866) = −76,96 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 36,96 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −76,96 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = −13,66 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −−10·−0,866 + −10·0,5 = −13,66 MPa

Réponse

τ_θ = −13,66 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 28,57 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 10·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 28,57 mm

Réponse

δ = 28,57 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 39,07 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·1500·(3·8000² − 4·1500²)/(48·1,61 × 10¹²) = 39,07 mm

Réponse

δ_mid = 39,07 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,422 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2500² = 4422 N = 4,422 kN

Réponse

P_cr = 4,422 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 34,27 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Réponse

σ_cr = 34,27 MPa

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