Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en aluminium (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 70 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 80 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 80 kNbarre: Ø20 mm, E = 200 GPatube: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 1500 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,6 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en acier de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 750 N·m agit en B, à 3 m de A, et un couple de 500 N·m de même sens agit à l’extrémité libre C, 2 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 15 kN·m dans le sens horaire en x = 2 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à gauche du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mM₀ = 15 kN·m dans le sens horaire, en 2 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

45 kN @ 0 m55 kN @ 12 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 110 MPa et σᵧ = 10 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 170 MPa ?

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 60 mm supporte un moment fléchissant de 500 N·m ainsi qu’un couple de 500 N·m. À la surface supérieure, où la contrainte de flexion est une traction maximale, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 60 mmM = 500 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 3 mP = 75 kN à 1,5 m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 10 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 10 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,0731 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·8482 = 6,566 × 10⁸ N

Raccourcissement

δ = 80000·600/6,566 × 10⁸ = 0,0731 mm

Réponse

δ = 0,0731 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 547,1 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 547,1 MPa

Réponse

σ_max = 547,1 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 55,99 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·50·0,8704)) = 55,99 mm

d_i = 0,6·55,99 = 33,6 mm

Réponse

d_o = 55,99 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 53,46 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 13,54 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 750 = 1250 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,25 × 10⁶·3000/(80000·251327) = 0,1865 rad

φ_BC = 500000·2000/(80000·251327) = 0,04974 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = 0,1865 + 0,04974 = 0,2362 rad → |φ_C| = 13,54°

Réponse

φ_C = 13,54°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −3 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/10 = 1,5 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −1,5 kN (vers le bas)

Coupure juste à gauche du couple

La partie gauche ne contient que R_A.

M_x = R_A·a = −1,5·2 = −3 kN·m

Réponse

M_x = −3 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 10 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 58,5 kN, R₂ = 73,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −71, M_D = −68, M_E = −81, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −110 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 8,37 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

âme: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·127,5 + 2160·60)/5160 = 99,24 mm

Théorème de Huygens

semelle: 200·15³/12 + 3000·(127,5 − 99,24)² = 2,451 × 10⁶ mm⁴

âme: 18·120³/12 + 2160·(60 − 99,24)² = 5,919 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,451 × 10⁶ + 5,919 × 10⁶ = 8,37 × 10⁶ mm⁴ = 8,37 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 8,37 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 36,69 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

âme: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·215 + 4000·100)/10600 = 171,6 mm

Théorème de Huygens

semelle: 220·30³/12 + 6600·(215 − 171,6)² = 1,292 × 10⁷ mm⁴

âme: 20·200³/12 + 4000·(100 − 171,6)² = 3,384 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,292 × 10⁷ + 3,384 × 10⁷ = 4,677 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 171,6 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·171,6/4,677 × 10⁷ = 36,69 MPa

Réponse

σ_bas = 36,69 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 97,98 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon requis

C = (110 + 10)/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 60 = 110 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(110² − 50²) = 97,98 MPa

Réponse

τ_xy = 97,98 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 28,46 MPa

Contraintes à la surface

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 11,79 MPa

R = √(11,79² + 11,79²) = 16,67 MPa

σ₁ = C + R = 28,46 MPa

σ₂ = C − R = −4,883 MPa

Réponse

σ₁ = 28,46 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,004209 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,004209 rad

Réponse

θ_A = 0,004209 rad

Soit 0,2411°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 23,44 kN

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Réponse

R_B = 23,44 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,876 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN

Réponse

P_cr = 3,876 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 45,08 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,08 mm

Réponse

d = 45,08 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 355, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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