Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 100 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 25 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 30 kW à 300 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,5 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 3 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mP = 55 kN à 4 mw = 4 kN/m de 0 à 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section rectangulaire creuse (caisson) a une largeur extérieure B = 260 mm, une hauteur extérieure H = 375 mm et une épaisseur de paroi uniforme t = 12 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

B = 260 mmH = 375 mmt = 12 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 100 mm × 150 mm a une découpe rectangulaire de 30 mm de large et 30 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 45 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 150 mmdécoupe: 30 × 30 mmcentre du trou: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 1200 mm et d’épaisseur de paroi 10 mm, contient un gaz à une pression relative de 0,8 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 20° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τ_n| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 1200 mmt = 10 mmp = 0,8 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 6,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 15 kNa = 6,5 mL = 8 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,91 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/70000 = 0,00291 = 2910 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,00291·1000 mm = 2,91 mm

Réponse

δ = 2,91 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,8494 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·1000/100000 = 0,5093 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 79,58·500/117000 = 0,3401 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8494 mm

Réponse

δ = 0,8494 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,746 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·38350) = 0,1003 rad

φ = 0,1003·180/π = 5,746°

Réponse

φ = 5,746°

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 44,22 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0,9375)) = 44,22 mm

d_i = 0,5·44,22 = 22,11 mm

Réponse

d_o = 44,22 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 43,28 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 38 kN, R₂ = 35 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 38, M_C = 73, M_D = 102 kN·m, M_E = 70, M_F = 35, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 102 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 180 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·4 + 4·10·5

R_B = 420/10 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 42 = 53 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 53·4 − 4·4·2 = 180 kN·m

Réponse

M_x = 180 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 141,1 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

b = 236 mm, h = 351 mm

A = BH − bh = 260·375 − 236·351 = 14664 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,921 × 10⁸ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(2,921 × 10⁸/14664) = 141,1 mm

Réponse

r = 141,1 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 27,2 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (15000·75 − 900·45)/(15000 − 900) = 76,91 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,915² = 28,18 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

30·30³/12 + 900·−31,91² = 0,9842 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 27,2 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 27,2 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 31,72 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 20 − −10) = 63,43°

Angle sur l’élément

θ_p = 31,72°

Réponse

θ_p = 31,72°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τ_n| = 7,713 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,8·600/10 = 48 MPa

σ_a = pr/(2t) = 24 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τ_n| = (48 − 24)·sin 20°·cos 20° = 7,713 MPa

Réponse

|τ_n| = 7,713 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 5,212 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·6500²·1500²/(3·1,14 × 10¹³·8000) = 5,212 mm

Réponse

δ_P = 5,212 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·200000·6,944) = 3,662 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 3,662 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 268,6 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/700² = 268561 N = 268,6 kN

Réponse

P_cr = 268,6 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 137,1 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Réponse

σ_cr = 137,1 MPa

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