Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 70 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 45 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en laiton est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 60 mm et une longueur de 3 m ; le tronçon BC a un diamètre de 30 mm et une longueur de 0,5 m. Un couple de 100 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 300 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 60 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 3 kN/m de 0 à 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mP = 65 kN à 1,5 mw = 5 kN/m de 0 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section rectangulaire creuse (caisson) a une largeur extérieure B = 220 mm, une hauteur extérieure H = 275 mm et une épaisseur de paroi uniforme t = 20 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

B = 220 mmH = 275 mmt = 20 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 200 mm × 200 mm a une découpe rectangulaire de 80 mm de large et 30 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 70 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 200 mmdécoupe: 80 × 30 mmcentre du trou: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 25° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 8 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 55° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τ_n| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 500 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1,5 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 2 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,671 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 70·1000/314,2 = 222,8 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 222,8/200000 = 0,001114 = 1114 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001114·1500 mm = 1,671 mm

Réponse

δ = 1,671 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 397,9 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 397,9 MPa

Réponse

σ_max = 397,9 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 1,27 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moments polaires

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsion de chaque tronçon

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,006046 rad

φ_BC = 100000·500/(39000·79522) = 0,01612 rad

Torsion totale

φ_C = 0,006046 + 0,01612 = 0,02217 rad = 1,27°

Réponse

φ_C = 1,27°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 37,81 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Réponse

d = 37,81 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 9 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Couper en x = 2 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 7,5·2 − 3·2·1 = 9 kN·m

Réponse

M_x = 9 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 70,31 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·1,5 + 5·4·2

R_B = 137,5/4 = 34,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 34,38 = 50,63 kN

Où V = 0 ?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 43,13 kN

V(1,5⁺) = 43,13 − 65 = −21,88 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 50,63·1,5 − 5·1,5²/2 = 70,31 kN·m

Réponse

M_max = 70,31 kN·m

Il se trouve en x = 1,5 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 101,3 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

b = 180 mm, h = 235 mm

A = BH − bh = 220·275 − 180·235 = 18200 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,866 × 10⁸ mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(1,866 × 10⁸/18200) = 101,3 mm

Réponse

r = 101,3 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 130,9 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (40000·100 − 2400·70)/(40000 − 2400) = 101,9 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,915² = 133,5 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

80·30³/12 + 2400·−31,91² = 2,625 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 130,9 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 130,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −100,1 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −65 − (−5)·0,6428 − 50·0,766 = −100,1 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = −29,91 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −130 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −100,1 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τ_n| = 8,81 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/8 = 37,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18,75 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τ_n| = (37,5 − 18,75)·sin 55°·cos 55° = 8,81 MPa

Réponse

|τ_n| = 8,81 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 9,826 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 9,826 mm

Réponse

δ_max = 9,826 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 18,62 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1500²)/3) = 4537 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 18,62 mm

Réponse

δ_max = 18,62 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 16,45 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2500² = 16449 N = 16,45 kN

Réponse

P_cr = 16,45 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 137,1 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Réponse

σ_cr = 137,1 MPa

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