Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 600 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en aluminium (diamètre 60 mm, longueur 300 mm, E = 70 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 20 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en acier de diamètre 30 mm est encastré en A. Un couple de 100 N·m agit en B, à 0,8 m de A, et un couple de 1500 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 0,5 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 5 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 6 mw = 16 kN/m de 3 à 5 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa, avec σ_z = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τ_abs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 130 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche δ_mid à mi-portée.

P = 21 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 1273 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/200000 = 0,001273 = 1273 µε

Réponse

ε = 1273 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 5,212 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 20000·659734/895354 = 14737 N

Contrainte

σ₂ = 14737/2827 = 5,212 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 5,212 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,401 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·613592) = 0,02445 rad

φ = 0,02445·180/π = 1,401°

Réponse

φ = 1,401°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 282,9 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 100 = 1400 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

Réponse

τ_max = 282,9 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 26,67, M_C = 53,33, M_D = 80 kN·m, M_E = 61,67, M_F = 43,33, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 80 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 3,667 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·2·4

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 10,67/16 = 3,667 m

Réponse

x₀ = 3,667 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 14,36 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

âme: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·170 + 1920·80)/5520 = 138,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·20³/12 + 3600·(170 − 138,7)² = 3,648 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·160³/12 + 1920·(80 − 138,7)² = 1,071 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,648 × 10⁶ + 1,071 × 10⁷ = 1,436 × 10⁷ mm⁴ = 14,36 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 14,36 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 34,15 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

âme: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·252,5 + 1920·120)/8920 = 224 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·25³/12 + 7000·(252,5 − 224)² = 6,058 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·240³/12 + 1920·(120 − 224)² = 2,997 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,058 × 10⁶ + 2,997 × 10⁷ = 3,603 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 265 − 224 = 41,02 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·41,02/3,603 × 10⁷ = 34,15 MPa

Réponse

σ_haut = 34,15 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_abs = 40,96 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σ_max − σ_min)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

Contraintes principales dans le plan

C = −55 MPa, R = √((−25)² + 10²) = 26,93 MPa

σ₁ = −28,07 MPa, σ₂ = −81,93 MPa, σ_z = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(53,85, 28,07, 81,93)/2 = 40,96 MPa

Réponse

τ_abs = 40,96 MPa

Ici, c’est le cercle hors plan qui est déterminant : le maximum absolu est supérieur au maximum dans le plan R.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 30,38 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 50 + 80·0,342 + −50·0,9397 = 30,38 MPa

Réponse

σ_θ = 30,38 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 8,333 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 8,333 mm

Réponse

δ_max = 8,333 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_mid = 11,96 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 21000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche à mi-portée

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 21000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·1,61 × 10¹²) = 11,96 mm

Réponse

δ_mid = 11,96 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 46,79 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1500 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1500² = 46789 N = 46,79 kN

Réponse

P_cr = 46,79 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 31,58 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/5 = 250

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Réponse

σ_cr = 31,58 MPa

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