Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 65 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en laiton est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 40 mm et une longueur de 1 m ; le tronçon BC a un diamètre de 30 mm et une longueur de 0,5 m. Un couple de 100 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 20 kW à 1800 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,7 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 55 kN·m dans le sens horaire en x = 1,5 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à gauche du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mM₀ = 55 kN·m dans le sens horaire, en 1,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

50 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 160 × 22 mm, une âme de 380 mm de haut et 14 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 290 × 12 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 160 × 22 mmâme: 14 × 380 mmsemelle inférieure: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à a = 4,5 m de l’appui A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 4 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 120 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 120 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 4775 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Réponse

ε = 4775 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 323,3 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 323,3 MPa

Réponse

σ_max = 323,3 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 18,86 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Contrainte dans chaque tronçon

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa

Réponse

τ_max = 18,86 MPa

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 26,1 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 106,1 N·m = 106103 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·40·0,7599)) = 26,1 mm

d_i = 0,7·26,1 = 18,27 mm

Réponse

d_o = 26,1 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 23,82 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −13,75 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/6 = 9,167 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −9,167 kN (vers le bas)

Coupure juste à gauche du couple

La partie gauche ne contient que R_A.

M_x = R_A·a = −9,167·1,5 = −13,75 kN·m

Réponse

M_x = −13,75 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 5 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 2 kN, R₂ = 68 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 2, M_C = 4, M_D = −14, M_E = −32, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −50 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 27,89 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

âme: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·175 + 3200·80)/11000 = 147,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·30³/12 + 7800·(175 − 147,4)² = 6,542 × 10⁶ mm⁴

âme: 20·160³/12 + 3200·(80 − 147,4)² = 2,135 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,542 × 10⁶ + 2,135 × 10⁷ = 2,789 × 10⁷ mm⁴ = 27,89 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 27,89 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 340 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 3520 mm², y = 403 mm

âme: A = 5320 mm², y = 202 mm

semelle inférieure: A = 3480 mm², y = 6 mm

Centre de gravité

ȳ = (3520·403 + 5320·202 + 3480·6)/12320 = 204,1 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 160·22³/12 + 3520·198,9² = 1,394 × 10⁸ mm⁴

âme: 14·380³/12 + 5320·2,065² = 6,404 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 290·12³/12 + 3480·198,1² = 1,366 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,394 × 10⁸ + 6,404 × 10⁷ + 1,366 × 10⁸

I_x = 3,4 × 10⁸ mm⁴ = 340 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 340 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 8,35 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 140 − −60) = 16,7°

Angle sur l’élément

θ_p = 8,35°

Réponse

θ_p = 8,35°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 20,52 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −20·−0,6428 + 10·0,766 = 20,52 MPa

Réponse

τ_θ = 20,52 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 69,49 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·4500²·3500²/(3·5,95 × 10¹¹·8000) = 69,49 mm

Réponse

δ_P = 69,49 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 75,94 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·200000·16,67) = 7,594 × 10⁷ mm⁴

I_req = 75,94 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 75,94 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 3,731 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/5000² = 3731 N = 3,731 kN

Réponse

P_cr = 3,731 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 88,71 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,71 mm

Réponse

d = 88,71 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 225,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials