Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en acier, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 50 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 30 kW à 1500 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,7 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 6,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 à 10 mx = 6,5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 45 kN à 4 mw = 6 kN/m de 0 à 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 100 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 140 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 140 × 18 mm, une âme de 320 mm de haut et 10 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 170 × 10 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 140 × 18 mmâme: 10 × 320 mmsemelle inférieure: 170 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 400 mm et d’épaisseur de paroi 12 mm, contient un gaz à une pression relative de 2,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 30° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 400 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 4 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 29 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 1592 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 100·1000/314,2 = 318,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/200000 = 0,001592 = 1592 µε

Réponse

ε = 1592 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 248,7 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 248,7 MPa

Réponse

σ_max = 248,7 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 11,55 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(39000·79522) = 0,2015 rad

φ = 0,2015·180/π = 11,55°

Réponse

φ = 11,55°

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 31,75 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·40·0,7599)) = 31,75 mm

d_i = 0,7·31,75 = 22,22 mm

Réponse

d_o = 31,75 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 28,97 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = −9 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 6,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 30 − 6·6,5 = −9 kN

Réponse

V_x = −9 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 126 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·4 + 6·8·4

R_B = 372/8 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 46,5 = 46,5 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 46,5·3,5 − 6·3,5·1,75 = 126 kN·m

Réponse

M_x = 126 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (20000·100 − 706,9·140)/(20000 − 706,9) = 98,53 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·200³/12 + 20000·1,466² = 66,71 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·41,47² = 1,255 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 142,8 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 2520 mm², y = 339 mm

âme: A = 3200 mm², y = 170 mm

semelle inférieure: A = 1700 mm², y = 5 mm

Centre de gravité

ȳ = (2520·339 + 3200·170 + 1700·5)/7420 = 189,6 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 140·18³/12 + 2520·149,4² = 5,632 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·320³/12 + 3200·19,59² = 2,854 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 170·10³/12 + 1700·184,6² = 5,794 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,632 × 10⁷ + 2,854 × 10⁷ + 5,794 × 10⁷

I_x = 1,428 × 10⁸ mm⁴ = 142,8 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 142,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −34,1 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 30/80,78 = 0,3714, sin 2θ_s = −75/80,78 = −0,9285

2θ_s = atan2(−75, 30) = −68,2°

Angle sur l’élément

θ_s = −34,1°

vérification: θ_s − θ_p = −34,1 − 10,9 = −45°

Réponse

θ_s = −34,1°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 36,46 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2,5·200/12 = 41,67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20,83 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 20,83·sin²30° + 41,67·cos²30° = 36,46 MPa

Réponse

σ_n = 36,46 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 13,18 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,27 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,007905 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,18 mm

Réponse

δ_B = 13,18 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 17,36 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 17,36 mm

Réponse

δ_max = 17,36 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 248,1 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·4000 = 4000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Réponse

P_cr = 248,1 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 26,99 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Réponse

σ_cr = 26,99 MPa

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