Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 95 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 80 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 60 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 2000 N·m est appliqué en C, à 0,5 m de A et 3 m de B. Trouvez le couple de réaction T_A au mur A.

d = 60 mmT₀ = 2000 N·ma = 0,5 mb = 3 m

T_A = N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

25 kN @ 1 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 2,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mP = 25 kN à 1,5 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 200 mm a un trou circulaire de diamètre 50 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 130 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmcentre du trou: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 45° dans le sens horaire. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 20 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant M_A à l’encastrement.

L = 3 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 125 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 125 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,297 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/117000 = 0,001149 = 1149 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001149·2000 mm = 2,297 mm

Réponse

δ = 2,297 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,717 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254,6·2000/117000 = 4,353 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,717 mm

Réponse

δ = 5,717 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,5845 °

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·251327) = 0,0102 rad

φ = 0,0102·180/π = 0,5845°

Réponse

φ = 0,5845°

4.Torsion des arbres

Réponse: T_A = 1714 N·m

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·3/3,5 = 1714 N·m

T_B = 2000·0,5/3,5 = 285,7 N·m

Réponse

T_A = 1714 N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 30,83 kN, R₂ = 9,167 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 30,83, M_C = 36,67 kN·m, M_D = 27,5, M_E = 18,33, M_F = 9,167, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 36,67 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 56,88 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1,5 + 8·6·3

R_B = 181,5/6 = 30,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 30,25 = 42,75 kN

Couper en x = 2,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 42,75·2,5 − 25·(2,5 − 1,5) − 8·2,5·1,25 = 56,88 kN·m

Réponse

M_x = 56,88 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (24000·100 − 1963·130)/(24000 − 1963) = 97,33 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·200³/12 + 24000·2,673² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,67² = 2,403 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 77,77 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 128,8 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

âme: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·247,5 + 3360·120)/6360 = 180,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 200·15³/12 + 3000·(247,5 − 180,1)² = 1,367 × 10⁷ mm⁴

âme: 14·240³/12 + 3360·(120 − 180,1)² = 2,828 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,367 × 10⁷ + 2,828 × 10⁷ = 4,195 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 180,1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·180,1/4,195 × 10⁷ = 128,8 MPa

Réponse

σ_bas = 128,8 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 85 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 115 − 25·0 − (−30)·(−1) = 85 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 145 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 230 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 85 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 22,21 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −−20·0,9397 + 10·0,342 = 22,21 MPa

Réponse

τ_θ = 22,21 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 63,13 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 20000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 40,4 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 22,73 mm

Les additionner

δ = 40,4 + 22,73 = 63,13 mm

Réponse

δ = 63,13 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: M_A = 5,625 kN·m

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5,625 kN

Moment à l’encastrement

Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 22,5 − 16,88 = 5,625 kN·m

Réponse

M_A = 5,625 kN·m

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,229 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Réponse

P_cr = 6,229 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 75,51 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 75,51 mm

Réponse

d = 75,51 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 111,2, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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