Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
Ø 16 mmLaiton3 mP = 35 kN

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 35 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
Ø 35 mmAcier2 mØ 16 mmLaiton0,5 mP = 60 kN

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σmax dans la barre.

P = 60 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 2 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsion des arbresMoyen
T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsion des arbresDifficile
d = 20 mmT0​ = 100 N·mACBa = 0,8 mb = 2,5 m

Un arbre plein en laiton de diamètre 20 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 100 N·m est appliqué en C, à 0,8 m de A et 2,5 m de B. Trouvez l’angle de rotation φC de la section C, en degrés.

d = 20 mmT0 = 100 N·ma = 0,8 mb = 2,5 mG = 39 GPa
φC = °
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
15 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 3 m15 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
15 kN/m60 kN10 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

60 kN @ 0 m10 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
26070t = 12xcotes en mm

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 260 mm de large avec deux ailes verticales de 70 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 12 mm. Trouvez son moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 260 mmh = 70 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
2601012020xM = 5 kN·mcotes en mm

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 5 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σhaut au bord supérieur.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 120 mmM = 5 kN·m
σhaut = MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = 140σy​ = −70τxy​ = 60MPa

En un point, σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 25° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σy′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σx = 140 MPaσy = −70 MPaτxy = 60 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
30°D = 1500 mm, t = 10 mm, p = 1,5 MPap

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 1500 mm et d’épaisseur de paroi 10 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 30° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σn qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 1,5 MPaα = 30°
σn = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
w = 15 kN/mδL = 2 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
w = 2,5 kN/mABδ3,5 m

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 50 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 50 mm
hreq = mm
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 1 md = 20 mmsection

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
P = 40 kNL = 5 md = ?section

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 40 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 40 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (acier)
d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,222 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/100000 = 0,001741 = 1741 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001741·3000 mm = 5,222 mm

Réponse

δ = 5,222 mm
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σmax = 298,4 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 62,36 MPa
σ2 = 298,4 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σmax = 298,4 MPa

Réponse

σmax = 298,4 MPa
3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,796 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·613592) = 0,03134 rad
φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Réponse

φ = 1,796°
4.Torsion des arbres

Réponse: φC = 5,668 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que TA + TB = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·2,5/3,3 = 75,76 N·m
TB = 100·0,8/3,3 = 24,24 N·m

Rotation de C

Utilisez le tronçon AC : il est encastré en A et transmet TA.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 75758·800/(39000·15708) = 0,09893 rad = 5,668°

Réponse

φC = 5,668°
5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 72,5 kN, R2 = 72,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 65, MC = 115, MD = 150 kN·m, ME = 115, MF = 65, MG = 0

Réponse

Repère D: MD = 150 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 1 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 132,5 kN, R2 = 57,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = 5, MD = 55, ME = 30, MF = −10, MG = 0

Réponse

Repère B: MB = −60 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 1,607 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A1 = 260·12 = 3120 mm², y1 = 6 mm
deux ailes: A2 = 2·12·58 = 1392 mm², y2 = 12 + 58/2 = 41 mm

Centre de gravité

ȳ = (3120·6 + 1392·41)/4512 = 16,8 mm

Théorème de Huygens

excipient: 260·12³/12 + 3120·(6 − 16,8)² = 401213 mm⁴
deux ailes: 2·12·58³/12 + 1392·(41 − 16,8)² = 1,206 × 10⁶ mm⁴
Ix = 401213 + 1,206 × 10⁶
Ix = 1,607 × 10⁶ mm⁴ = 1,607 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 1,607 × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σhaut = 22,14 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
âme: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·125 + 2400·60)/5000 = 93,8 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·10³/12 + 2600·(125 − 93,8)² = 2,553 × 10⁶ mm⁴
âme: 20·120³/12 + 2400·(60 − 93,8)² = 5,622 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,553 × 10⁶ + 5,622 × 10⁶ = 8,174 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 130 − 93,8 = 36,2 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·36,2/8,174 × 10⁶ = 22,14 MPa

Réponse

σhaut = 22,14 MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σy′ = −78,46 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σy′ = 35 − 105·0,6428 − 60·0,766 = −78,46 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σx′ = 148,5 MPa, σx′ + σy′ = 70 = σx + σy

Réponse

σy′ = −78,46 MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σn = 98,44 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Cylindre à paroi mince : contrainte circonférentielle σh = pr/t et contrainte axiale σa = pr/(2t) ; ce sont les contraintes principales dans la paroi.

Contraintes dans la paroi

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1,5·750/10 = 112,5 MPa
σa = pr/(2t) = 56,25 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σa) et y selon la circonférence (σh). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σn = 56,25·sin²30° + 112,5·cos²30° = 98,44 MPa

Réponse

σn = 98,44 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 1,838 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flèche

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 1,838 mm

Réponse

δmax = 1,838 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: hreq = 196,7 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Moment quadratique nécessaire

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·14) = 3,172 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = Ireq → h = (12·3,172 × 10⁷/50)1/3 = 196,7 mm

Réponse

hreq = 196,7 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 11,07 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Réponse

Pcr = 11,07 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 62,41 mm

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Charge critique nécessaire

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 62,41 mm

Réponse

d = 62,41 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 224,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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