Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

Nouveaux exercices Retour au cours

Dans la fenêtre d’impression, choisissez « Enregistrer au format PDF » pour garder une copie sur votre appareil.

1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 65 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en laiton est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 75 mm et une longueur de 1 m ; le tronçon BC a un diamètre de 60 mm et une longueur de 3 m. Un couple de 1000 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1 md₂ = 60 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton transmet 20 kW à 1000 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 80 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,75° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 4 kN/m de 0 à 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 5 mw = 4 kN/m de 1 à 3 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 140 mm de large avec deux ailes verticales de 160 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 8 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 140 mmh = 160 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −80 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 150 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 150 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Il doit porter 55 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 55 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 682,1 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/70000 = 0,0006821 = 682,1 µε

Réponse

ε = 682,1 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,049 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·1000/70000 = 0,7389 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·1500/200000 = 4,31 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,049 mm

Réponse

δ = 5,049 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 3,937 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moments polaires

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Torsion de chaque tronçon

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·1000/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,008254 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·3000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,06046 rad

Torsion totale

φ_C = 0,008254 + 0,06046 = 0,06871 rad = 3,937°

Réponse

φ_C = 3,937°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 44,18 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(22,99, 44,18) = 44,18 mm

Réponse

d = 44,18 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 10 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Couper en x = 5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 12·5 − 4·5·2,5 = 10 kN·m

Réponse

M_x = 10 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 2,2 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·2·2

R_B = 16/5 = 3,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 3,2 = 4,8 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 4,8/4 = 2,2 m

Réponse

x₀ = 2,2 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 9,596 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 140·8 = 1120 mm², y₁ = 4 mm

deux ailes: A₂ = 2·8·152 = 2432 mm², y₂ = 8 + 152/2 = 84 mm

Centre de gravité

ȳ = (1120·4 + 2432·84)/3552 = 58,77 mm

Théorème de Huygens

excipient: 140·8³/12 + 1120·(4 − 58,77)² = 3,366 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·8·152³/12 + 2432·(84 − 58,77)² = 6,23 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,366 × 10⁶ + 6,23 × 10⁶

I_x = 9,596 × 10⁶ mm⁴ = 9,596 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 9,596 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 180,6 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

âme: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·305 + 3600·150)/5400 = 201,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·10³/12 + 1800·(305 − 201,7)² = 1,924 × 10⁷ mm⁴

âme: 12·300³/12 + 3600·(150 − 201,7)² = 3,661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,924 × 10⁷ + 3,661 × 10⁷ = 5,585 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 201,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·201,7/5,585 × 10⁷ = 180,6 MPa

Réponse

σ_bas = 180,6 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 64,03 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((30 − −70)/2)² + −40²) = 64,03 MPa

Réponse

τ_max = 64,03 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −70,32 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −10 + −70·0,6428 + −20·0,766 = −70,32 MPa

Réponse

σ_θ = −70,32 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 8,696 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 8,696 mm

Réponse

δ_max = 8,696 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 180,9 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·20) = 7,398 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·7,398 × 10⁷/150)^1/3 = 180,9 mm

Réponse

h_req = 180,9 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,211 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/5000² = 4211 N = 4,211 kN

Réponse

P_cr = 4,211 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 52,35 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 52,35 mm

Réponse

d = 52,35 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 160,5, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials