Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 90 kNd = 20 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 85 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 15 kW à 1450 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,6 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 2 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1,5 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez le moment fléchissant positif maximal M_max entre les appuis.

L = 7,5 mw = 5 kN/m de 0 à 7,5 mappuis en x = 0 et x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 300 mm a un trou circulaire de diamètre 40 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 90 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmcentre du trou: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 50 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 600 mm et d’épaisseur de paroi 10 mm, contient un gaz à une pression relative de 2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 55° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la contrainte normale σ_n qui agit perpendiculairement au cordon de soudure.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acier)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 80 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 80 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,865 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/200000 = 0,001432 = 1432 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001432·2000 mm = 2,865 mm

Réponse

δ = 2,865 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 4,523 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·2000/100000 = 1,353 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·1500/200000 = 3,171 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,523 mm

Réponse

δ = 4,523 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,629 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ = 0,09824·180/π = 5,629°

Réponse

φ = 5,629°

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 24,36 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·40·0,8704)) = 24,36 mm

d_i = 0,6·24,36 = 14,61 mm

Réponse

d_o = 24,36 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 23,26 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 66,67, M_D = 80, M_E = 93,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 93,33 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 19,78 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN, appliquée en x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/6 = 23,44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 23,44 = 14,06 kN

Effort tranchant nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 14,06/5 = 2,813 m

Moment positif maximal

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 14,06²/(2·5) = 19,78 kN·m

Réponse

M_max = 19,78 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (36000·150 − 1257·90)/(36000 − 1257) = 152,2 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·300³/12 + 36000·−2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 83,8 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

âme: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·235 + 3080·110)/7280 = 182,1 mm

Théorème de Huygens

semelle: 140·30³/12 + 4200·(235 − 182,1)² = 1,206 × 10⁷ mm⁴

âme: 14·220³/12 + 3080·(110 − 182,1)² = 2,844 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,206 × 10⁷ + 2,844 × 10⁷ = 4,05 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 250 − 182,1 = 67,88 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·67,88/4,05 × 10⁷ = 83,8 MPa

Réponse

σ_haut = 83,8 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 81,45 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, −40 − 90) = 162,9°

Angle sur l’élément

θ_p = 81,45°

Réponse

θ_p = 81,45°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_n = 39,87 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/10 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Réponse

σ_n = 39,87 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 1,017 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,017 mm

Réponse

δ = 1,017 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,44 × 10⁸ mm⁴

I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 315 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2100² = 314984 N = 315 kN

Réponse

P_cr = 315 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 89,33 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 89,33 mm

Réponse

d = 89,33 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 134,3, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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