Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 20 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 75 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 100 kW à 500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

50 kN @ 2 m12 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 8 mw = 20 kN/m de 2 à 4 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 220 mm de large avec deux ailes verticales de 80 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 18 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 220 mmh = 80 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 180 × 24 mm, une âme de 150 mm de haut et 16 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 300 × 20 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 180 × 24 mmâme: 16 × 150 mmsemelle inférieure: 300 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 2 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acier)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,592 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 20·1000/314,2 = 63,66 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/100000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0006366·2500 mm = 1,592 mm

Réponse

δ = 1,592 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 238,7 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 238,7 MPa

Réponse

σ_max = 238,7 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 13,86 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Réponse

φ = 13,86°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 102,4 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·25/466269 = 102,4 MPa

Réponse

τ_max = 102,4 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 2 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 69,33 kN, R₂ = 52,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 63,33, M_C = 114,7 kN·m, M_D = 104, M_E = 81,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 114,7 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 3,25 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2·3

R_B = 120/8 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 15 = 25 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 25/20 = 3,25 m

Réponse

x₀ = 3,25 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 23,42 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 220·18 = 3960 mm², y₁ = 9 mm

deux ailes: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

Centre de gravité

ȳ = (3960·9 + 2232·49)/6192 = 23,42 mm

Réponse

ȳ = 23,42 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 79,54 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 4320 mm², y = 182 mm

âme: A = 2400 mm², y = 95 mm

semelle inférieure: A = 6000 mm², y = 10 mm

Centre de gravité

ȳ = (4320·182 + 2400·95 + 6000·10)/12720 = 84,45 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 180·24³/12 + 4320·97,55² = 4,131 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·150³/12 + 2400·10,55² = 4,767 × 10⁶ mm⁴

semelle inférieure: 300·20³/12 + 6000·74,45² = 3,346 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,131 × 10⁷ + 4,767 × 10⁶ + 3,346 × 10⁷

I_x = 7,954 × 10⁷ mm⁴ = 79,54 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 79,54 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 42,14 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −40 − −50) = 84,29°

Angle sur l’élément

θ_p = 42,14°

Réponse

θ_p = 42,14°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 18,05 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −10·0,766 + 40·0,6428 = 18,05 MPa

Réponse

τ_θ = 18,05 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 6,328 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 6,328 mm

Réponse

δ = 6,328 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 9,547 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 2000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 9,547 mm

Réponse

δ_max = 9,547 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 58,49 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1500² = 58487 N = 58,49 kN

Réponse

P_cr = 58,49 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 49,35 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Réponse

σ_cr = 49,35 MPa

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