Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 40 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 85 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 1 m de A, et un couple de 250 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 1,2 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mP = 15 kN à 2,5 mw = 6 kN/m de 0 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 160 mm de large avec deux ailes verticales de 70 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 8 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 160 mmh = 70 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 30 MPa, σᵧ = −10 MPa et τₓᵧ = −30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = −60 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 6 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 15 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 15 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,053 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 353,7/70000 = 0,005053 = 5053 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,005053·1000 mm = 5,053 mm

Réponse

δ = 5,053 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,706 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·2000/100000 = 1,353 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·500/100000 = 1,353 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,706 mm

Réponse

δ = 2,706 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 6,755 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Réponse

φ = 6,755°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 19,89 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Réponse

τ_max = 19,89 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 43,33 kN, R₂ = 56,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 76,67, M_C = 133,3, M_D = 170, M_E = 186,7 kN·m, M_F = 103,3, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 186,7 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 25,31 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 6·4·2

R_B = 85,5/4 = 21,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 21,38 = 17,63 kN

Où V = 0 ?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 2,625 kN

V(2,5⁺) = 2,625 − 15 = −12,38 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 17,63·2,5 − 6·2,5²/2 = 25,31 kN·m

Réponse

M_max = 25,31 kN·m

Il se trouve en x = 2,5 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 19,28 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 160·8 = 1280 mm², y₁ = 4 mm

deux ailes: A₂ = 2·8·62 = 992 mm², y₂ = 8 + 62/2 = 39 mm

Centre de gravité

ȳ = (1280·4 + 992·39)/2272 = 19,28 mm

Réponse

ȳ = 19,28 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 30,76 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

âme: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·285 + 2800·140)/5800 = 215 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·10³/12 + 3000·(285 − 215)² = 1,472 × 10⁷ mm⁴

âme: 10·280³/12 + 2800·(140 − 215)² = 3,404 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,472 × 10⁷ + 3,404 × 10⁷ = 4,877 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 290 − 215 = 75 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·75/4,877 × 10⁷ = 30,76 MPa

Réponse

σ_haut = 30,76 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 36,06 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((30 − −10)/2)² + −30²) = 36,06 MPa

Réponse

τ_max = 36,06 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −22,31 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 5 + 85·0,342 + −60·0,9397 = −22,31 MPa

Réponse

σ_θ = −22,31 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,009524 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 5·8000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,009524 rad

Réponse

θ_A = 0,009524 rad

Soit 0,5457°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 11,25 kN

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). Pour une poutre hyperstatique, supprimez un appui surabondant et imposez une flèche nulle à cet endroit (compatibilité).

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11,25 kN

Réponse

R_B = 11,25 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 24,22 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Réponse

P_cr = 24,22 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 35,27 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 35,27 mm

Réponse

d = 35,27 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 226,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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