Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 40 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Une tige en acier (diamètre 40 mm, E = 200 GPa, contrainte admissible 250 MPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en laiton (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 70 mm, E = 100 GPa, contrainte admissible 80 MPa). Ils sont comprimés ensemble entre des plaques rigides. Trouvez la plus grande charge P_max.

barre: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatube: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 20 kW à 1000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

30 kN @ 4 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 0 m40 kN @ 12 m55 kN @ 4 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 40 MPa en traction et 90 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 45° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1,5 m de A. Trouvez la flèche δ_B à l’extrémité libre B.

P = 23 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,8488 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/706,9 = 56,59 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 56,59/200000 = 0,0002829 = 282,9 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0002829·3000 mm = 0,8488 mm

Réponse

δ = 0,8488 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P_max = 798 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9,975 × 10⁸ N

Déformation déterminante

ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (laiton)

Charge maximale

P_max = 0,0008·9,975 × 10⁸ = 797965 N = 798 kN

Réponse

P_max = 798 kN

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 13,86 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Réponse

φ = 13,86°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 23,49 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Réponse

d = 23,49 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: C (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 61,67 kN, R₂ = 18,33 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 123,3, M_C = 146,7 kN·m, M_D = 110, M_E = 73,33, M_F = 36,67, M_G = 0

Réponse

Repère C: M_C = 146,7 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 81,33 kN, R₂ = 89,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −9,333, M_D = −72,67, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −160 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 58,99 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

âme: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·272,5 + 4160·130)/7160 = 189,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·25³/12 + 3000·(272,5 − 189,7)² = 2,072 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·260³/12 + 4160·(130 − 189,7)² = 3,826 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,072 × 10⁷ + 3,826 × 10⁷ = 5,899 × 10⁷ mm⁴ = 58,99 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 58,99 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 4,156 kN·m

Centre de gravité

ȳ = (1000·205 + 2000·100)/3000 = 135 mm

bord supérieur: c = 210 − 135 = 75 mm

Moment quadratique

I = 100·10³/12 + 1000·70² + 10·200³/12 + 2000·35² = 1,403 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 90·1,403 × 10⁷/75 = 16,83 kN·m

bord inférieur: M = 40·1,403 × 10⁷/135 = 4,156 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 4,156 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 4,156 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 67,5 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 10 − 30) = 135°

Angle sur l’élément

θ_p = 67,5°

Réponse

θ_p = 67,5°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 30 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −−30·1 + 30·0 = 30 MPa

Réponse

τ_θ = 30 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_B = 56,01 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 23000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Flèche à l’extrémité libre

Flèche au droit de la charge plus la rotation au droit de la charge multipliée par la longueur restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 28 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,028 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 56,01 mm

Réponse

δ_B = 56,01 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·70000·11,11) = 8,571 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 8,571 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 222,3 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Réponse

P_cr = 222,3 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 56,65 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7,5 = 186,7

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186,7² = 56,65 MPa

Réponse

σ_cr = 56,65 MPa

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