Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en cuivre, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 75 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 40 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 750 N·m est appliqué en C, à 1,5 m de A et 0,5 m de B. Trouvez le couple de réaction T_A au mur A.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 6 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie sur une partie de sa portée. Trouvez la distance x₀ entre A et la section où le moment fléchissant est maximal.

L = 6 mw = 24 kN/m de 3 à 5 m

x₀ = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 170 mm de large et 24 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 480 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 170 mmH = 480 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 15 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 3 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 29 kNb = 3 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 696,5 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490,9 = 81,49 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 81,49/117000 = 0,0006965 = 696,5 µε

Réponse

ε = 696,5 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 5,774 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·1500/117000 = 0,9994 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·2000/100000 = 4,775 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,774 mm

Réponse

δ = 5,774 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 5,261 °

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·251327) = 0,09182 rad

φ = 0,09182·180/π = 5,261°

Réponse

φ = 5,261°

4.Torsion des arbres

Réponse: T_A = 187,5 N·m

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·0,5/2 = 187,5 N·m

T_B = 750·1,5/2 = 562,5 N·m

Réponse

T_A = 187,5 N·m

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 6 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 34,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 68,33, M_C = 136,7, M_D = 185 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 185 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x₀ = 3,667 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·2·4

R_B = 192/6 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 32 = 16 kN

Effort tranchant nul

L’effort tranchant part de R_A, reste constant sur toute partie non chargée et décroît avec une pente w à l’intérieur de la charge.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 16/24 = 3,667 m

Réponse

x₀ = 3,667 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 478,3 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 480 − 2·24 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·480³ − 162·432³)/12

I_x = 4,783 × 10⁸ mm⁴ = 478,3 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 478,3 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 35,46 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

âme: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·285 + 3920·140)/5320 = 178,2 mm

Théorème de Huygens

semelle: 140·10³/12 + 1400·(285 − 178,2)² = 1,599 × 10⁷ mm⁴

âme: 14·280³/12 + 3920·(140 − 178,2)² = 3,132 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,599 × 10⁷ + 3,132 × 10⁷ = 4,731 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 290 − 178,2 = 111,8 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·111,8/4,731 × 10⁷ = 35,46 MPa

Réponse

σ_haut = 35,46 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −64,9 °

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402, sin 2θ_s = −60/78,1 = −0,7682

2θ_s = atan2(−60, −50) = −129,8°

Angle sur l’élément

θ_s = −64,9°

vérification: θ_s − θ_p = −64,9 − (−19,9) = −45°

Réponse

θ_s = −64,9°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 173,2 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 75 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 165,1 MPa, σ₂ = −15,14 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(165,1² − 165,1·(−15,14) + (−15,14)²) = 173,2 MPa

Réponse

σ_vM = 173,2 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 1,667 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 1,667 mm

Réponse

δ = 1,667 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 33,88 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 33,88 mm

Réponse

δ_max = 33,88 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 17,99 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2000² = 17991 N = 17,99 kN

Réponse

P_cr = 17,99 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 3,172 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466,7² = 3,172 MPa

Réponse

σ_cr = 3,172 MPa

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