Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 55 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, laiton (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en laiton est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 75 mm et une longueur de 1 m ; le tronçon BC a un diamètre de 30 mm et une longueur de 1 m. Un couple de 200 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 15 kW à 3000 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 75 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 15 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 2 kN/m de 0 à 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 12 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 100 mm de large et 14 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 500 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 200 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 100 mmH = 500 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −20 MPa et σᵧ = 90 MPa. Jusqu’à quelle valeur la contrainte de cisaillement τ_xy (en valeur absolue) peut-elle monter avant que la plus grande contrainte principale atteigne 105 MPa ?

σ_x = −20 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −10 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acier)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 7 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 35 kN avec un coefficient de sécurité de 3 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 5720 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

Réponse

ε = 5720 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 273,5 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 273,5 MPa

Réponse

σ_max = 273,5 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 3,789 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moments polaires

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsion de chaque tronçon

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(39000·3,106 × 10⁶) = 0,001651 rad

φ_BC = 200000·1000/(39000·79522) = 0,06449 rad

Torsion totale

φ_C = 0,001651 + 0,06449 = 0,06614 rad = 3,789°

Réponse

φ_C = 3,789°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 14,8 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

Réponse

d = 14,8 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 2,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 5·4,5 − 2·4,5·2,25 = 2,25 kN·m

Réponse

M_x = 2,25 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 52,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 50, M_D = −15, M_E = −80 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −80 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 21,8 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

âme: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·230 + 1760·110)/4160 = 179,2 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·20³/12 + 2400·(230 − 179,2)² = 6,266 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·220³/12 + 1760·(110 − 179,2)² = 1,553 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,266 × 10⁶ + 1,553 × 10⁷ = 2,18 × 10⁷ mm⁴ = 21,8 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 21,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 200,4 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 500 − 2·14 = 472 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·500³ − 92·472³)/12

I_x = 2,355 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 250 − 14 = 236 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·236/2,355 × 10⁸ = 200,4 MPa

Réponse

σ_j = 200,4 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_xy = 43,3 MPa

Rayon requis

C = (−20 + 90)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 35 = 70 MPa

Contrainte de cisaillement

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 55²) = 43,3 MPa

Réponse

τ_xy = 43,3 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 52,92 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = −5 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 25,41 MPa, σ₂ = −35,41 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(25,41² − 25,41·(−35,41) + (−35,41)²) = 52,92 MPa

Réponse

σ_vM = 52,92 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,01855 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,01855 rad

Réponse

θ_A = 0,01855 rad

Soit 1,063°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 8,241 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 7000·4000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,296 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 6,944 mm

Les additionner

δ_max = 1,296 + 6,944 = 8,241 mm

Réponse

δ_max = 8,241 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 6,426 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2000 = 4000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/4000² = 6426 N = 6,426 kN

Réponse

P_cr = 6,426 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 79,03 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,03 mm

Réponse

d = 79,03 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 303,7, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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