Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 20 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 75 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium transmet 50 kW à 750 tr/min. La contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 75 MPa et la torsion ne doit pas dépasser 0,75° par m de longueur. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte les deux limites.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mw = 4 kN/m de 0 à 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 4 mP = 50 kN à 2 mw = 2 kN/m de 0 à 4 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I soudée a une semelle supérieure de 110 × 10 mm, une âme de 310 mm de haut et 16 mm d’épaisseur, et une semelle inférieure de 180 × 12 mm (largeur × épaisseur). Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

semelle supérieure: 110 × 10 mmâme: 16 × 310 mmsemelle inférieure: 180 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 125 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/250. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 2 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,4251 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/117000 = 0,0008502 = 850,2 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0008502·500 mm = 0,4251 mm

Réponse

δ = 0,4251 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 9,501 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·1500/117000 = 0,9994 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663,1·1500/117000 = 8,502 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,501 mm

Réponse

δ = 9,501 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 7,183 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·613592) = 0,1254 rad

φ = 0,1254·180/π = 7,183°

Réponse

φ = 7,183°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 66,07 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diamètre pour la résistance

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35,1 mm

Diamètre pour la rigidité

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 66,07 mm

Diamètre déterminant

Les deux limites doivent être respectées, donc c’est le plus grand diamètre qui est déterminant.

d = max(35,1, 66,07) = 66,07 mm

Réponse

d = 66,07 mm

Ici, c’est la rigidité qui est déterminante.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 3,5 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 8·3,5 − 4·3,5·1,75 = 3,5 kN·m

Réponse

M_x = 3,5 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 54 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 2·4·2

R_B = 116/4 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 29 = 29 kN

Où V = 0 ?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 25 kN

V(2⁺) = 25 − 50 = −25 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 29·2 − 2·2²/2 = 54 kN·m

Réponse

M_max = 54 kN·m

Il se trouve en x = 2 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 84,73 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

âme: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 5040·140)/9540 = 209,6 mm

Théorème de Huygens

semelle: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 209,6)² = 2,741 × 10⁷ mm⁴

âme: 18·280³/12 + 5040·(140 − 209,6)² = 5,733 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,741 × 10⁷ + 5,733 × 10⁷ = 8,473 × 10⁷ mm⁴ = 84,73 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 84,73 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 120,3 × 10⁶ mm⁴

Décomposer en trois rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle supérieure: A = 1100 mm², y = 327 mm

âme: A = 4960 mm², y = 167 mm

semelle inférieure: A = 2160 mm², y = 6 mm

Centre de gravité

ȳ = (1100·327 + 4960·167 + 2160·6)/8220 = 146,1 mm

Théorème de Huygens

semelle supérieure: 110·10³/12 + 1100·180,9² = 3,6 × 10⁷ mm⁴

âme: 16·310³/12 + 4960·20,9² = 4,189 × 10⁷ mm⁴

semelle inférieure: 180·12³/12 + 2160·140,1² = 4,243 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,6 × 10⁷ + 4,189 × 10⁷ + 4,243 × 10⁷

I_x = 1,203 × 10⁸ mm⁴ = 120,3 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 120,3 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −71,57 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −30/50 = −0,6

2θ_s = atan2(−30, −40) = −143,1°

Angle sur l’élément

θ_s = −71,57°

vérification: θ_s − θ_p = −71,57 − (−26,57) = −45°

Réponse

θ_s = −71,57°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 17,3 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −15·−0,6428 + 10·0,766 = 17,3 MPa

Réponse

τ_θ = 17,3 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 79,37 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 79,37 mm

Réponse

δ_max = 79,37 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 173 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·18) = 5,393 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·5,393 × 10⁷/125)^1/3 = 173 mm

Réponse

h_req = 173 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 12,21 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·6000 = 6000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Réponse

P_cr = 12,21 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 12,34 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Réponse

σ_cr = 12,34 MPa

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