Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en aluminium, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 30 mm, longueur 400 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en aluminium (diamètre 50 mm, longueur 300 mm, E = 70 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 100 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatronçon 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 30 mm est encastré en A. Un couple de 1500 N·m agit en B, à 3 m de A, et un couple de 200 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 0,5 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 30 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 3 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

55 kN @ 1 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 2 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Une charge uniformément répartie w agit sur toute la longueur A–C. Trouvez la distance x_c entre A et le point d’inflexion situé entre les appuis (là où le moment fléchissant change de signe).

L = 10 mw = 5 kN/m de 0 à 10 mappuis en x = 0 et x = 8 m

x_c = m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en I symétrique a des semelles de 200 mm de large et 16 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 420 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 200 mmH = 420 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 10 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σ_haut au bord supérieur.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_haut = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 25 mm supporte un effort de traction axial de 70 kN ainsi qu’un couple de 400 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la contrainte de cisaillement maximale dans le plan τ_max.

d = 25 mmF = 70 kNT = 400 N·m

τ_max = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la rotation θ_A de la poutre à l’appui A, en radians.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge ponctuelle P à b = 1 m de l’appui B. Trouvez la flèche maximale δ_max de la poutre.

P = 16 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acier)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 505,3 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/70000 = 0,0005053 = 505,3 µε

Réponse

ε = 505,3 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 28,75 MPa

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Rigidités

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 100000·458149/811578 = 56452 N

Contrainte

σ₂ = 56452/1963 = 28,75 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 28,75 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 1,403 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·251327) = 0,02449 rad

φ = 0,02449·180/π = 1,403°

Réponse

φ = 1,403°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 245,2 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1500 = −1300 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 1300 N·m

τ_max = 16·1,3 × 10⁶/(π·30³) = 245,2 MPa

Réponse

τ_max = 245,2 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: D (x = 3 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 73,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 73,33, M_C = 91,67, M_D = 110 kN·m, M_E = 73,33, M_F = 36,67, M_G = 0

Réponse

Repère D: M_D = 110 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: x_c = 7,5 m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre, y compris la charge sur le porte-à-faux.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10·5

R_B = 250/8 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 31,25 = 18,75 kN

Moment nul

Entre les appuis, M(x) = R_A·x − w·x²/2. En dehors de x = 0, il s’annule en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18,75/5 = 7,5 m

Réponse

x_c = 7,5 m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 290,5 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 420 − 2·16 = 388 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·420³ − 194·388³)/12

I_x = 2,905 × 10⁸ mm⁴ = 290,5 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 290,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_haut = 32,05 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

âme: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·165 + 1920·80)/4720 = 130,4 mm

Théorème de Huygens

semelle: 280·10³/12 + 2800·(165 − 130,4)² = 3,371 × 10⁶ mm⁴

âme: 12·160³/12 + 1920·(80 − 130,4)² = 8,978 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,371 × 10⁶ + 8,978 × 10⁶ = 1,235 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 170 − 130,4 = 39,58 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·39,58/1,235 × 10⁷ = 32,05 MPa

Réponse

σ_haut = 32,05 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 31,62 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Rayon du cercle de Mohr

τ_max = R = √(((−30 − 30)/2)² + −10²) = 31,62 MPa

Réponse

τ_max = 31,62 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_max = 148,6 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = 70000/(π·25²/4) = 70000/490,9 = 142,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 71,3 MPa

R = √(71,3² + 130,4²) = 148,6 MPa

Réponse

τ_max = 148,6 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: θ_A = 0,01607 rad

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition). La rotation θ = dv/dx est la première intégrale de M/(EI) ; en unités cohérentes, elle s’obtient en radians.

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Rotation en bout

θ_A = wL³/(24EI) = 20·6000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,01607 rad

Réponse

θ_A = 0,01607 rad

Soit 0,9208°.

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 13,71 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 16000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Position du maximum

En annulant la rotation dans le tronçon le plus long, on obtient la position.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Flèche maximale

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 13,71 mm

Réponse

δ_max = 13,71 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,395 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2500 = 2500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2500² = 4395 N = 4,395 kN

Réponse

P_cr = 4,395 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 19,28 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Réponse

σ_cr = 19,28 MPa

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