Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en acier sous l’effort axial.

P = 100 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 115 kNtronçon 1 : Ø35 mm, 2 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 15 mm est soumise à un couple de 75 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 2,16° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2,16°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 50 kW à 300 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mP = 45 kN à 3 mw = 6 kN/m de 0 à 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 300 mm de large avec deux ailes verticales de 80 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 12 mm. Trouvez la hauteur ȳ du centre de gravité au-dessus du bord inférieur.

b = 300 mmh = 80 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 30 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa et τₓᵧ = 20 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 15° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa et τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Le matériau a une limite d’élasticité de 300 MPa. Trouvez le coefficient de sécurité n vis-à-vis de la plastification selon le critère de von Mises (énergie de distorsion).

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. Trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 8 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Il doit porter 65 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 65 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 19,1 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for acier = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1273/200000 = 0,006366 = 6366 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,006366·3000 mm = 19,1 mm

Réponse

δ = 19,1 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 366,1 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 366,1 MPa

Réponse

σ_max = 366,1 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 80,06 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,16·π/180 = 0,0377 rad

Module de cisaillement

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,0377) = 80056 MPa

G = 80,06 GPa

Réponse

G = 80,06 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 27,88 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·37,5/2,141 × 10⁶ = 27,88 MPa

Réponse

τ_max = 27,88 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 20 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Couper en x = 1 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 24·1 − 8·1·0,5 = 20 kN·m

Réponse

M_x = 20 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 56,25 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·3 + 6·5·2,5

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 42 = 33 kN

Couper en x = 3,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 33·3,5 − 45·(3,5 − 3) − 6·3,5·1,75 = 56,25 kN·m

Réponse

M_x = 56,25 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: ȳ = 18,48 mm

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

deux ailes: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Centre de gravité

ȳ = (3600·6 + 1632·46)/5232 = 18,48 mm

Réponse

ȳ = 18,48 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 133 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

âme: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227,5 + 3960·110)/5760 = 146,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 146,7)² = 1,178 × 10⁷ mm⁴

âme: 18·220³/12 + 3960·(110 − 146,7)² = 2,131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,178 × 10⁷ + 2,131 × 10⁷ = 3,309 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 146,7 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·146,7/3,309 × 10⁷ = 133 MPa

Réponse

σ_bas = 133 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −54,64 MPa

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −10 − 40·0,866 − 20·0,5 = −54,64 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 34,64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −54,64 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: n = 2,798

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 5 MPa, R = 61,85 MPa

σ₁ = 66,85 MPa, σ₂ = −56,85 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(66,85² − 66,85·(−56,85) + (−56,85)²) = 107,2 MPa

n = 300/107,2 = 2,798

Réponse

n = 2,798

n > 1 signifie que le point ne se plastifie pas ; Tresca est un peu plus conservatif que von Mises.

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 30,3 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 30,3 mm

Réponse

δ = 30,3 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 15 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Réponse

R_B = 15 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 57,12 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1500 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Réponse

P_cr = 57,12 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 108,4 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 108,4 mm

Réponse

d = 108,4 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 221,4, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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