Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale
σ = F/A
Déformation
ε = ΔL/L
Loi de Hooke
σ = E·ε
Allongement
ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique
εT = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement
τ = T·r/J
Arbre plein
J = πd⁴/32
Arbre creux
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion
φ = TL/(GJ)
Puissance
P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

  1. Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
  2. Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
  3. Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
  4. Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment
V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion
σ = M·y/I
Rectangle
I = bh³/12
Module de flexion
W = I/ymax
Poutre sur deux appuis, charge uniforme
Mmax = wL²/8

Méthode

  1. Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
  2. Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
  3. Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
  4. Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectangle
I = bh³/12
Théorème de Huygens
I = Ic + A·d²
Section composée
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre
C = (σx + σy)/2
Rayon
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Contraintes principales
σ1,2 = C ± R
Direction principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Facette inclinée
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Méthode

  1. Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
  2. Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
  4. Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée
δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis
δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout
δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposition
δ = δ1 + δ2

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement
K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique
σcr = Pcr/A
Élancement
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen
Ø 16 mmLaiton1 mP = 100 kN

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Contrainte et déformation axialesDifficile
P = ?Ø20110 GPaØ120/60300 mm

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa, contrainte admissible 120 MPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en bronze (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 60 mm, E = 110 GPa, contrainte admissible 50 MPa). Ils sont comprimés ensemble entre des plaques rigides. Trouvez la plus grande charge Pmax.

barre: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatube: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torsion des arbresMoyen
d = ?T = 100 N·mL = 1 m

Un arbre plein en laiton de 1 m de long transmet un couple de 100 N·m. L’angle de torsion entre ses extrémités ne doit pas dépasser 2°. Trouvez le plus petit diamètre d qui respecte cette limite.

T = 100 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Torsion des arbresDifficile
Td = ?

Un arbre plein doit transmettre 30 kW à 300 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen
5 kN/m20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

20 kN @ 4 m5 kN/m, 1–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile
8 kN/m60 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

60 kN @ 6 m55 kN @ 1 m8 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen
1503001212xcotes en mm

Une section en I symétrique a des semelles de 150 mm de large et 12 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 300 mm et une âme de 12 mm d’épaisseur. Trouvez son moment quadratique Ix par rapport à l’axe horizontal x passant par le centre de gravité.

B = 150 mmH = 300 mmtf = 12 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile
2603020018xM = 20 kN·mcotes en mm

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 20 kN·m. Trouvez la valeur de la contrainte de flexion σhaut au bord supérieur.

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 200 mmM = 20 kN·m
σhaut = MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen
σx​ = 150σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = 30 MPa, avec σz = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τabs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile
25°D = 500 mm, t = 8 mm, p = 1,2 MPap

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 500 mm et d’épaisseur de paroi 8 mm, contient un gaz à une pression relative de 1,2 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 25° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τn| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 500 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 25°
|τn| = MPa
11.Flèche d’une poutreMoyen
w = 10 kN/mδL = 2,5 m

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δmax, à mi-portée.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flèche d’une poutreDifficile
w = 4 kN/mABδ4,5 m

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 75 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale hreq de la section.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 75 mm
hreq = mm
13.Flambement des poteauxMoyen
PL = 3 md = 50 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Flambement des poteauxDifficile
PL = 3 md = 60 mmsection

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σcr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm
σcr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 4974 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/100000 = 0,004974 = 4974 µε

Réponse

ε = 4974 µε
2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: Pmax = 452,7 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, Pi = P·EiAi/ΣEA, et σi = Ei·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Déformation déterminante

ε = min(0,0006, 0,0004545) = 0,0004545 (bronze)

Charge maximale

Pmax = 0,0004545·9,959 × 10⁸ = 452675 N = 452,7 kN

Réponse

Pmax = 452,7 kN
3.Torsion des arbres

Réponse: d = 29,41 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire requis

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·1000/(39000·0,03491) = 73456 mm⁴

Diamètre

d = (32J/π)1/4 = 29,41 mm

Réponse

d = 29,41 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 39,32 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τmax = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(do⁴ − di⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Réponse

d = 39,32 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 17,08 kN, R2 = 27,92 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 17,08, MC = 31,67, MD = 41,25, ME = 45,83 kN·m, MF = 25,42, MG = 0

Réponse

Repère E: ME = 45,83 kN·m
6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 5 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R1 = 52 kN, R2 = 103 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

MA = 0, MB = 48, MC = 33, MD = 10, ME = −21, MF = −60 kN·m, MG = 0

Réponse

Repère F: MF = −60 kN·m
7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: Ix = 95,72 × 10⁶ mm⁴

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = Ic + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême.

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − tw) de large et hw = H − 2tf de haut, et sont rapportés à l’axe x.

hw = 300 − 2·12 = 276 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·300³ − 138·276³)/12
Ix = 9,572 × 10⁷ mm⁴ = 95,72 × 10⁶ mm⁴

Réponse

Ix = 95,72 × 10⁶ mm⁴
8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σhaut = 22,73 MPa

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
âme: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Centre de gravité

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·215 + 3600·100)/11400 = 178,7 mm

Théorème de Huygens

semelle: 260·30³/12 + 7800·(215 − 178,7)² = 1,087 × 10⁷ mm⁴
âme: 18·200³/12 + 3600·(100 − 178,7)² = 3,429 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,087 × 10⁷ + 3,429 × 10⁷ = 4,516 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord supérieur est à h − ȳ de l’axe.

y = 230 − 178,7 = 51,32 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·51,32/4,516 × 10⁷ = 22,73 MPa

Réponse

σhaut = 22,73 MPa
9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τabs = 78,54 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σmax − σmin)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

στxyCσ1​σ2​

Contraintes principales dans le plan

C = 90 MPa, R = √(60² + 30²) = 67,08 MPa
σ1 = 157,1 MPa, σ2 = 22,92 MPa, σz = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(134,2, 157,1, 22,92)/2 = 78,54 MPa

Réponse

τabs = 78,54 MPa

Ici, c’est le cercle hors plan qui est déterminant : le maximum absolu est supérieur au maximum dans le plan R.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τn| = 7,182 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Cylindre à paroi mince : contrainte circonférentielle σh = pr/t et contrainte axiale σa = pr/(2t) ; ce sont les contraintes principales dans la paroi.

Contraintes dans la paroi

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1,2·250/8 = 37,5 MPa
σa = pr/(2t) = 18,75 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σa) et y selon la circonférence (σh). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τn| = (37,5 − 18,75)·sin 25°·cos 25° = 7,182 MPa

Réponse

|τn| = 7,182 MPa
11.Flèche d’une poutre

Réponse: δmax = 2,119 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flèche

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 2,119 mm

Réponse

δmax = 2,119 mm
12.Flèche d’une poutre

Réponse: hreq = 291,8 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Moment quadratique nécessaire

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,553 × 10⁸/75)1/3 = 291,8 mm

Réponse

hreq = 291,8 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: Pcr = 137,3 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Charge critique

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Réponse

Pcr = 137,3 kN
14.Flambement des poteaux

Réponse: σcr = 12,34 MPa

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à Pcr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400

Contrainte critique

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Réponse

σcr = 12,34 MPa

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