Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 40 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 80 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en laiton est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 75 kW à 1500 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez l’effort tranchant V_x dans la section x = 4,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 à 10 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

15 kN @ 0 m25 kN @ 6 m30 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 160 mm de large avec deux ailes verticales de 140 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 10 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 160 mmh = 140 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

La section en T sert de poutre avec la semelle en haut et supporte un moment fléchissant positif de 5 kN·m. Trouvez la contrainte de flexion σ_bas au bord inférieur.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_bas = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 50 MPa, avec σ_z = 0. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale absolue τ_abs en ce point (en considérant tous les plans dans l’espace).

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 20° dans le sens horaire par rapport à l’axe x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console de longueur L est encastrée en A et porte une charge ponctuelle P à une distance a = 1 m de A. Trouvez la flèche δ_P sous la charge.

P = 28 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 27 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 10,91 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/70000 = 0,007276 = 7276 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,007276·1500 mm = 10,91 mm

Réponse

δ = 10,91 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 9,228 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·500/200000 = 0,1592 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1500/117000 = 9,069 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,228 mm

Réponse

δ = 9,228 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 7,662 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Réponse

φ = 7,662°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 8,364 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37,5/2,141 × 10⁶ = 8,364 MPa

Réponse

τ_max = 8,364 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: V_x = 3 kN

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Couper en x = 4,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

V = R_A − (toutes les charges vers le bas à gauche de la coupe)

V_x = 30 − 6·4,5 = 3 kN

Réponse

V_x = 3 kN

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: F (x = 5 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 27,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −2,5, M_D = 10, M_E = −7,5, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

Réponse

Repère F: M_F = −25 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 8,528 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 160·10 = 1600 mm², y₁ = 5 mm

deux ailes: A₂ = 2·10·130 = 2600 mm², y₂ = 10 + 130/2 = 75 mm

Centre de gravité

ȳ = (1600·5 + 2600·75)/4200 = 48,33 mm

Théorème de Huygens

excipient: 160·10³/12 + 1600·(5 − 48,33)² = 3,018 × 10⁶ mm⁴

deux ailes: 2·10·130³/12 + 2600·(75 − 48,33)² = 5,511 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,018 × 10⁶ + 5,511 × 10⁶

I_x = 8,528 × 10⁶ mm⁴ = 8,528 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 8,528 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_bas = 144,2 MPa

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

âme: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 960·60)/1960 = 93,16 mm

Théorème de Huygens

semelle: 100·10³/12 + 1000·(125 − 93,16)² = 1,022 × 10⁶ mm⁴

âme: 8·120³/12 + 960·(60 − 93,16)² = 2,208 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,022 × 10⁶ + 2,208 × 10⁶ = 3,23 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de flexion

Le bord inférieur est à ȳ de l’axe.

y = 93,16 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·93,16/3,23 × 10⁶ = 144,2 MPa

Réponse

σ_bas = 144,2 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_abs = 111,8 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Dans l’espace, la contrainte de cisaillement maximale absolue vaut (σ_max − σ_min)/2 sur les trois contraintes principales ; en contraintes planes, la troisième est nulle.

Contraintes principales dans le plan

C = 20 MPa, R = √(100² + 50²) = 111,8 MPa

σ₁ = 131,8 MPa, σ₂ = −91,8 MPa, σ_z = 0

Le plus grand des trois cercles

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(223,6, 131,8, 91,8)/2 = 111,8 MPa

Réponse

τ_abs = 111,8 MPa

Ici, σ₁ et σ₂ sont de signes opposés, donc le maximum dans le plan R est aussi le maximum absolu.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −28,05 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = −10 + 10·0,766 + 40·−0,6428 = −28,05 MPa

Réponse

σ_θ = −28,05 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_P = 7,071 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 28000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Flèche sous la charge

δ_P = Pa³/(3EI) = 28000·1000³/(3·1,32 × 10¹²) = 7,071 mm

Réponse

δ_P = 7,071 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 6,674 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 27000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 4,87 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,804 mm

Les additionner

δ_max = 4,87 + 1,804 = 6,674 mm

Réponse

δ_max = 6,674 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 50,23 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·2500 = 5000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50,23 kN

Réponse

P_cr = 50,23 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 7,676 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Réponse

σ_cr = 7,676 MPa

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