Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en aluminium sous l’effort axial.

P = 65 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 65 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 2 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en aluminium est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein doit transmettre 50 kW à 1800 tr/min sans que la contrainte de cisaillement dépasse 50 MPa. Trouvez le plus petit diamètre d qui convient.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre repose sur une articulation en A et un appui simple en B, et se prolonge en porte-à-faux de 1 m au-delà de B jusqu’à l’extrémité libre C. Elle porte une charge ponctuelle P₁ entre les appuis et une charge ponctuelle P₂ en C. Trouvez le moment fléchissant M_B à l’appui B. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 9 mP₁ = 35 kN à 3 mP₂ = 60 kN à 9 mappuis en x = 0 et x = 8 m

M_B = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 3 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mP = 15 kN à 3 mw = 3 kN/m de 0 à 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 220 mm de large et 22 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 500 mm et une âme de 6 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 100 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 220 mmH = 500 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 27 kNw = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Il doit porter 5 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,838 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/490,9 = 132,4 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132,4/70000 = 0,001892 = 1892 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001892·1500 mm = 2,838 mm

Réponse

δ = 2,838 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 206,9 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 206,9 MPa

Réponse

σ_max = 206,9 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 16,44 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(26000·251327) = 0,2869 rad

φ = 0,2869·180/π = 16,44°

Réponse

φ = 16,44°

4.Torsion des arbres

Réponse: d = 30,01 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diamètre à partir de la contrainte admissible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Réponse

d = 30,01 mm

En pratique, on arrondirait au diamètre normalisé supérieur.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_B = −60 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre. La charge du porte-à-faux crée aussi un moment par rapport à A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 60·9

R_B = 645/8 = 80,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 80,63 = 14,38 kN

Coupure en B en gardant le porte-à-faux

Seule P₂ agit sur le porte-à-faux, avec un bras de levier a. Elle fait fléchir la poutre vers le haut au-dessus de l’appui (flexion négative).

M_B = −P₂·a = −60·1 = −60 kN·m

Réponse

M_B = −60 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 15,75 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, appliquée en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 3·4·2

R_B = 69/4 = 17,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 17,25 = 9,75 kN

Couper en x = 3 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 9,75·3 − 3·3·1,5 = 15,75 kN·m

Réponse

M_x = 15,75 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 62,94 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

âme: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·267,5 + 5200·130)/7900 = 177 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·15³/12 + 2700·(267,5 − 177)² = 2,217 × 10⁷ mm⁴

âme: 20·260³/12 + 5200·(130 − 177)² = 4,078 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,217 × 10⁷ + 4,078 × 10⁷ = 6,294 × 10⁷ mm⁴ = 62,94 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 62,94 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 37,95 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 500 − 2·22 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·500³ − 214·456³)/12

I_x = 6,007 × 10⁸ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 250 − 22 = 228 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·228/6,007 × 10⁸ = 37,95 MPa

Réponse

σ_j = 37,95 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = 15,48 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 70 − −30) = 30,96°

Angle sur l’élément

θ_p = 15,48°

Réponse

θ_p = 15,48°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = 16,04 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 75 + −35·0,342 + −50·0,9397 = 16,04 MPa

Réponse

σ_θ = 16,04 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 1,941 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,941 mm

Réponse

δ_max = 1,941 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 52,03 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 27000 N, w = 15 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·6000³/(48·7,2 × 10¹²) = 16,88 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 35,16 mm

Les additionner

δ_max = 16,88 + 35,16 = 52,03 mm

Réponse

δ_max = 52,03 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 13,49 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2000² = 13494 N = 13,49 kN

Réponse

P_cr = 13,49 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 18,95 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 18,95 mm

Réponse

d = 18,95 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 211,1, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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