Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en cuivre, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 85 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 0,5 m, laiton (E = 100 GPa)tronçon 2 : Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 12 mm est soumise à un couple de 30 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 4,33° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 30 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 4,33°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en acier de diamètre 40 mm est encastré dans des murs rigides à ses deux extrémités A et B. Un couple de 250 N·m est appliqué en C, à 1 m de A et 0,5 m de B. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 40 mmT₀ = 250 N·ma = 1 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 à 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 8 mP = 35 kN à 4 mw = 6 kN/m de 0 à 8 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Trouvez le moment quadratique I_x de la section en T par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 35 MPa en traction et 120 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant positif M_allow que la poutre peut supporter.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa et τₓᵧ = −10 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un arbre plein de diamètre 25 mm supporte un effort de traction axial de 90 kN ainsi qu’un couple de 750 N·m. À la surface de l’arbre, trouvez la plus grande contrainte principale σ₁.

d = 25 mmF = 90 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre en bois sur deux appuis, de section rectangulaire de 75 mm de large, porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Sa flèche à mi-portée ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez la hauteur minimale h_req de la section.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 4912 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/117000 = 0,004912 = 4912 µε

Réponse

ε = 4912 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 422,8 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 422,8 MPa

Réponse

σ_max = 422,8 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 39 GPa

Moment polaire et angle

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,33·π/180 = 0,07557 rad

Module de cisaillement

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(2036·0,07557) = 39000 MPa

G = 39 GPa

Réponse

G = 39 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 13,26 MPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω. Quand les deux extrémités sont encastrées, la statique seule ne donne que T_A + T_B = T₀ ; la deuxième équation est la compatibilité (même rotation des deux parties à la section chargée).

Équilibre et compatibilité

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0,5/1,5 = 83,33 N·m

T_B = 250·1/1,5 = 166,7 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le plus grand des deux couples est déterminant (même diamètre).

τ_max = 16·166667/(π·40³) = 13,26 MPa

Réponse

τ_max = 13,26 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 10 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 12,5·4 − 5·4·2 = 10 kN·m

Réponse

M_x = 10 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 118 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 6·8·4

R_B = 332/8 = 41,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 41,5 = 41,5 kN

Où V = 0 ?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 17,5 kN

V(4⁺) = 17,5 − 35 = −17,5 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 41,5·4 − 6·4²/2 = 118 kN·m

Réponse

M_max = 118 kN·m

Il se trouve en x = 4 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 12,51 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Découper en deux rectangles

Mesurez chaque y depuis le bord inférieur.

semelle: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

âme: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centre de gravité

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·170 + 1600·80)/5200 = 142,3 mm

Théorème de Huygens

semelle: 180·20³/12 + 3600·(170 − 142,3)² = 2,881 × 10⁶ mm⁴

âme: 10·160³/12 + 1600·(80 − 142,3)² = 9,625 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,881 × 10⁶ + 9,625 × 10⁶ = 1,251 × 10⁷ mm⁴ = 12,51 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 12,51 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 14,15 kN·m

Centre de gravité

ȳ = (8400·275 + 4680·130)/13080 = 223,1 mm

bord supérieur: c = 290 − 223,1 = 66,88 mm

Moment quadratique

I = 280·30³/12 + 8400·51,88² + 18·260³/12 + 4680·93,12² = 9,018 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment positif : le haut est comprimé, le bas tendu.

bord supérieur: M = 120·9,018 × 10⁷/66,88 = 161,8 kN·m

bord inférieur: M = 35·9,018 × 10⁷/223,1 = 14,15 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 14,15 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 14,15 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −3,17 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 120 − −60) = −6,34°

Angle sur l’élément

θ_p = −3,17°

Réponse

θ_p = −3,17°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ₁ = 352,8 MPa

Contraintes à la surface

σ = F/A = 90000/(π·25²/4) = 90000/490,9 = 183,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244,5 MPa

Cercle de Mohr

C = σ/2 = 91,67 MPa

R = √(91,67² + 244,5²) = 261,1 MPa

σ₁ = C + R = 352,8 MPa

σ₂ = C − R = −169,4 MPa

Réponse

σ₁ = 352,8 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 2,084 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 2,084 mm

Réponse

δ_max = 2,084 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: h_req = 204,3 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Moment quadratique nécessaire

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Hauteur requise

bh³/12 = I_req → h = (12·5,327 × 10⁷/75)^1/3 = 204,3 mm

Réponse

h_req = 204,3 mm

En pratique, choisissez la hauteur normalisée immédiatement supérieure à cette valeur.

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 4,318 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·5000 = 10000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/10000² = 4318 N = 4,318 kN

Réponse

P_cr = 4,318 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 47,98 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Réponse

σ_cr = 47,98 MPa

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