Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une barre est faite d’un tronçon en acier (diamètre 20 mm, longueur 300 mm, E = 200 GPa) assemblé bout à bout avec un tronçon en laiton (diamètre 40 mm, longueur 200 mm, E = 100 GPa). Elle est fixée à une extrémité et tirée à l’autre. Trouvez la charge axiale P qui l’allonge de 0,4 mm au total.

tronçon 1: acier, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatronçon 2: laiton, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 110 kNtronçon 1 : Ø25 mm, 1,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1,5 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein en acier est encastré dans le mur et tordu par un couple T à son extrémité libre. Trouvez l’angle de torsion φ de l’extrémité libre, en degrés.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux transmet 20 kW à 750 tr/min. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

40 kN @ 5 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

10 kN @ 12 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 120 mm de large avec deux ailes verticales de 60 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 8 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 120 mmh = 60 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 50 MPa en traction et 100 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant négatif M_allow que la poutre peut supporter (donnez sa valeur absolue).

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa et τₓᵧ = 10 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 25° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 35° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 5 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge ponctuelle P à mi-portée. EI est constant. Trouvez la réaction R_B à l’appui simple.

L = 3 mP = 55 kN à 1,5 m

R_B = kN

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré en pied et libre en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et libre en tête. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: P = 62,83 kN

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Souplesses

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

Charge

P = 0,4/6,366 × 10⁻⁶ = 62832 N = 62,83 kN

Réponse

P = 62,83 kN

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 6,933 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 224,1·1500/200000 = 1,681 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1500/100000 = 5,252 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,933 mm

Réponse

δ = 6,933 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ = 0,3502 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment quadratique polaire

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angle de torsion

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0,006112 rad

φ = 0,006112·180/π = 0,3502°

Réponse

φ = 0,3502°

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 4,095 MPa

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Moment quadratique polaire

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Contrainte de cisaillement maximale

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·37,5/2,332 × 10⁶ = 4,095 MPa

Réponse

τ_max = 4,095 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 4 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 15 kN, R₂ = 50 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = 45, M_E = 60 kN·m, M_F = 50, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = 60 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: B (x = 2 m)

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 34 kN, R₂ = 21 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = 68 kN·m, M_C = 46, M_D = 24, M_E = 2, M_F = −20, M_G = 0

Réponse

Repère B: M_B = 68 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 0,5937 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

deux ailes: A₂ = 2·8·52 = 832 mm², y₂ = 8 + 52/2 = 34 mm

Centre de gravité

ȳ = (960·4 + 832·34)/1792 = 17,93 mm

Théorème de Huygens

excipient: 120·8³/12 + 960·(4 − 17,93)² = 191365 mm⁴

deux ailes: 2·8·52³/12 + 832·(34 − 17,93)² = 402375 mm⁴

I_x = 191365 + 402375

I_x = 593740 mm⁴ = 0,5937 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 0,5937 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 31,28 kN·m

Centre de gravité

ȳ = (3200·310 + 3600·150)/6800 = 225,3 mm

bord supérieur: c = 320 − 225,3 = 94,71 mm

Moment quadratique

I = 160·20³/12 + 3200·84,71² + 12·300³/12 + 3600·75,29² = 7,048 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment négatif : le haut est tendu, le bas comprimé.

bord supérieur: M = 50·7,048 × 10⁷/94,71 = 37,21 kN·m

bord inférieur: M = 100·7,048 × 10⁷/225,3 = 31,28 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 31,28 kN·m (bord inférieur)

Réponse

M_allow = 31,28 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −36,94 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = −10 − 30·0,6428 − 10·0,766 = −36,94 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 16,94 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −36,94 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = 33,75 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −−25·0,9397 + 30·0,342 = 33,75 MPa

Réponse

τ_θ = 33,75 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 11,88 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·3000³/(3·7,2 × 10¹²) = 6,25 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 5,625 mm

Les additionner

δ = 6,25 + 5,625 = 11,88 mm

Réponse

δ = 11,88 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: R_B = 17,19 kN

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

Réponse

R_B = 17,19 kN

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 67,29 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 2·1500 = 3000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Réponse

P_cr = 67,29 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 2,999 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2,999 MPa

Réponse

σ_cr = 2,999 MPa

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