Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en laiton sous l’effort axial.

P = 50 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 80 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø20 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre plein étagé en aluminium est encastré en A. Le tronçon AB a un diamètre de 25 mm et une longueur de 0,5 m ; le tronçon BC a un diamètre de 20 mm et une longueur de 1,5 m. Un couple de 100 N·m agit à l’extrémité libre C. Trouvez l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

T = 100 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en laiton de diamètre 60 mm est encastré en A. Un couple de 250 N·m agit en B, à 0,5 m de A, et un couple de 2000 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 2 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0,5 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte deux charges ponctuelles. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mP₁ = 20 kN à 3,5 mP₂ = 20 kN à 4 m

M_max = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 4 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 8 mP = 30 kN à 4 mw = 8 kN/m de 0 à 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 120 mm × 150 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 90 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 120 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 30 mm de large et 20 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 96 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 120 mmh = 240 mmdécoupe: 30 × 20 mmcentre du trou: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = 30 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 50° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un point d’une plaque mince est en contraintes planes : σₓ = 0 MPa, σᵧ = 0 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Trouvez la contrainte équivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 0 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 3 kNw = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (bois de structure)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est encastré en pied et articulé en tête. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 70 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 70 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,387 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/100000 = 0,001592 = 1592 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,001592·1500 mm = 2,387 mm

Réponse

δ = 2,387 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 2,449 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·500/117000 = 0,2721 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254,6·1000/117000 = 2,176 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,449 mm

Réponse

δ = 2,449 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 23,92 °

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moments polaires

J₁ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsion de chaque tronçon

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·500/(26000·38350) = 0,05015 rad

φ_BC = 100000·1500/(26000·15708) = 0,3673 rad

Torsion totale

φ_C = 0,05015 + 0,3673 = 0,4174 rad = 23,92°

Réponse

φ_C = 23,92°

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 5,629 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 250 = 1750 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,01763 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·2000/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,08061 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = 0,01763 + 0,08061 = 0,09824 rad → |φ_C| = 5,629°

Réponse

φ_C = 5,629°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 35 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3,5 + 20·4

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 30 = 10 kN

Moment sous chaque charge

Gardez la partie à gauche de chaque charge.

sous P₁: M = R_A·3,5 = 10·3,5 = 35 kN·m

sous P₂: M = R_B·1 = 30·1 = 30 kN·m

Plus grande valeur

M_max = 35 kN·m (sous P₁)

Réponse

M_max = 35 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 124 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, appliquée en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·4 + 8·8·4

R_B = 376/8 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 94 − 47 = 47 kN

Couper en x = 4 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 47·4 − 8·4·2 = 124 kN·m

Réponse

M_x = 124 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (18000·75 − 706,9·90)/(18000 − 706,9) = 74,39 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·150³/12 + 18000·0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Centre de gravité

ȳ = (28800·120 − 600·96)/(28800 − 600) = 120,5 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

120·240³/12 + 28800·−0,5106² = 138,2 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

30·20³/12 + 600·−24,51² = 0,3805 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 137,9 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 137,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = −31,04 MPa

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 15 − (−95)·(−0,1736) − 30·0,9848 = −31,04 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 61,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = −31,04 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_vM = 69,28 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R. Critères de plasticité : von Mises prévoit la plastification quand σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atteint σ_Y ; Tresca quand la contrainte de cisaillement maximale absolue atteint σ_Y/2.

Contraintes principales

C = 0 MPa, R = 40 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −40 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(40² − 40·(−40) + (−40)²) = 69,28 MPa

Réponse

σ_vM = 69,28 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 3,509 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 3,509 mm

Réponse

δ_max = 3,509 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 67,57 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, w = 10 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·5000³/(48·1,32 × 10¹²) = 5,919 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 61,65 mm

Les additionner

δ_max = 5,919 + 61,65 = 67,57 mm

Réponse

δ_max = 67,57 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 11,07 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Réponse

P_cr = 11,07 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 44,9 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·70000 = 175000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,9 mm

Réponse

d = 44,9 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 133,6, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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