Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez l’allongement δ de la barre en cuivre sous l’effort axial.

P = 35 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez la contrainte normale maximale σ_max dans la barre.

P = 40 kNtronçon 1 : Ø30 mm, 1,5 m, cuivre (E = 117 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 1 m, cuivre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 10 mm est soumise à un couple de 20 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 300 mm tournent de 4,38° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 4,38°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre creux doit transmettre 100 kW à 1450 tr/min. Son diamètre intérieur doit valoir 0,8 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 80 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 6 mw = 8 kN/m de 0 à 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

La poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée et une charge ponctuelle P. Trouvez le moment fléchissant maximal M_max dans la poutre.

L = 5 mP = 50 kN à 3,5 mw = 6 kN/m de 0 à 5 m

M_max = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une plaque de 200 mm × 150 mm a un trou circulaire de diamètre 30 mm sur son axe vertical médian, dont le centre est à 60 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmcentre du trou: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une plaque de 100 mm × 240 mm a une découpe rectangulaire de 40 mm de large et 40 mm de haut, centrée sur l’axe vertical médian, dont le centre est à 144 mm au-dessus du bas. Trouvez le moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

b = 100 mmh = 240 mmdécoupe: 40 × 40 mmcentre du trou: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −20 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_p entre l’axe x et la direction de la plus grande contrainte principale, compris entre −90° et 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte normale σ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 40° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w sur toute sa portée. Trouvez la flèche maximale δ_max, à mi-portée.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w. Sa flèche ne doit pas dépasser portée/360. Trouvez le moment quadratique minimal I_req qui respecte cette limite.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (bois de structure)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en acier est encastré aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Trouvez son élancement et la contrainte critique de flambement σ_cr avec la formule d’Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acier)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,058 mm

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for cuivre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/117000 = 0,0004232 = 423,2 µε

Allongement

δ = ε·L = 0,0004232·2500 mm = 1,058 mm

Réponse

δ = 1,058 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ_max = 353,7 MPa

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 56,59 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Contrainte maximale

Le tronçon le plus fin a la plus petite aire, donc il porte la plus grande contrainte.

σ_max = 353,7 MPa

Réponse

σ_max = 353,7 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 79,95 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 4,38·π/180 = 0,07645 rad

Module de cisaillement

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981,7·0,07645) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Réponse

G = 79,95 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 41,41 mm

Couple

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 658,6 N·m = 658572 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·658572/(π·80·0,5904)) = 41,41 mm

d_i = 0,8·41,41 = 33,13 mm

Réponse

d_o = 41,41 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 34,74 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 11 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, appliquée en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 24·0,5 − 8·0,5·0,25 = 11 kN·m

Réponse

M_x = 11 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_max = 68,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Moment maximal : comme dM/dx = V, le moment fléchissant atteint son maximum là où l’effort tranchant s’annule, soit sous une charge ponctuelle, soit à l’intérieur d’une charge répartie.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,5 + 6·5·2,5

R_B = 250/5 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 50 = 30 kN

Où V = 0 ?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 9 kN

V(3,5⁺) = 9 − 50 = −41 kN

L’effort tranchant change de signe au droit de la charge, donc le maximum est sous la charge.

Moment maximal

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 30·3,5 − 6·3,5²/2 = 68,25 kN·m

Réponse

M_max = 68,25 kN·m

Il se trouve en x = 3,5 m à partir de A.

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Sections avec trous : traitez un trou comme une aire négative. Le centre de gravité est ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), avec A₁, y₁ pour la plaque pleine et A₂, y₂ pour le trou. Pour le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité, utilisez le théorème des axes parallèles pour chaque partie et soustrayez le trou : I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), où d est la distance du centre de gravité propre de chaque partie à l’axe passant par ȳ. Un rectangle a I_c = bh³/12 et un cercle I_c = πd⁴/64.

Centre de gravité

ȳ = (30000·75 − 706,9·60)/(30000 − 706,9) = 75,36 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,362² = 56,25 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,36² = 0,2066 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Centre de gravité

ȳ = (24000·120 − 1600·144)/(24000 − 1600) = 118,3 mm

Plaque pleine par rapport à ȳ

100·240³/12 + 24000·1,714² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Trou par rapport à ȳ

40·40³/12 + 1600·25,71² = 1,271 × 10⁶ mm⁴

Soustraire

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 114 × 10⁶ mm⁴

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_p = −67,5 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le point x se trouve à un angle 2θp de l’axe σ ; le quadrant découle des signes de σₓ − σᵧ et de τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 0 − 40) = −135°

Angle sur l’élément

θ_p = −67,5°

Réponse

θ_p = −67,5°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_θ = −13,37 MPa

Formule de changement de repère

σ_θ = 35 + 5·0,1736 + −50·0,9848 = −13,37 MPa

Réponse

σ_θ = −13,37 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 18,08 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flèche

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 18,08 mm

Réponse

δ_max = 18,08 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Flèche admissible

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Moment quadratique nécessaire

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·11000·22,22) = 1,309 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_req = 1309 × 10⁶ mm⁴

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 9,922 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1250² = 9922 N = 9,922 kN

Réponse

P_cr = 9,922 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: σ_cr = 17,77 MPa

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Rayon de giration et élancement

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

Contrainte critique

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Réponse

σ_cr = 17,77 MPa

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