Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Trouvez la déformation axiale ε dans la barre en laiton, en microdéformations (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

La barre étagée est encastrée dans le mur et chargée à son extrémité libre. Trouvez l’allongement total δ.

P = 10 kNtronçon 1 : Ø40 mm, 0,5 m, acier (E = 200 GPa)tronçon 2 : Ø12 mm, 2 m, laiton (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion des arbresMoyen

Lors d’un essai de torsion, une éprouvette pleine de diamètre 10 mm est soumise à un couple de 40 N·m. Les deux extrémités d’une longueur de mesure de 200 mm tournent de 5,84° l’une par rapport à l’autre (le matériau est encore élastique). Trouvez le module de cisaillement G du matériau.

T = 40 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 5,84°

G = GPa

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en aluminium de diamètre 40 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 1 m de A, et un couple de 200 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 1 m plus loin. Trouvez la valeur absolue de l’angle de torsion φ_C de l’extrémité C, en degrés.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 0,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 à 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Les repères A à G divisent la poutre en six parties égales. À quel repère le moment fléchissant est-il le plus grand en valeur absolue, positif ou négatif ? Cliquez dessus dans le schéma.

45 kN @ 0 m30 kN @ 12 m35 kN @ 4 m4 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Un tube circulaire a un diamètre extérieur D = 70 mm et un diamètre intérieur d = 50 mm. Trouvez son rayon de giration r par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité.

D = 70 mmd = 50 mm

r = mm

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une poutre en fonte a la section en T représentée, semelle en haut. Les contraintes admissibles sont de 35 MPa en traction et 100 MPa en compression. Trouvez le plus grand moment fléchissant négatif M_allow que la poutre peut supporter (donnez sa valeur absolue).

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 140 MPa, σᵧ = −80 MPa et τₓᵧ = 40 MPa (traction positive). Trouvez l’angle θ_s, compris entre −90° et 90°, de l’axe x à la normale du plan sur lequel la contrainte de cisaillement atteint sa valeur positive maximale +R (cisaillement positif dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

Un réservoir cylindrique à paroi mince, de diamètre intérieur 600 mm et d’épaisseur de paroi 5 mm, contient un gaz à une pression relative de 0,5 MPa. Il est réalisé en tôle soudée le long d’un cordon hélicoïdal incliné de 20° par rapport à l’axe du cylindre. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de cisaillement |τ_n| qui agit le long du cordon de soudure.

D = 600 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 15 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre sur deux appuis porte une charge uniformément répartie w et une charge ponctuelle P à mi-portée. Par superposition, trouvez la flèche à mi-portée δ_max.

P = 22 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acier)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 85 kN avec un coefficient de sécurité de 2 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 85 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: ε = 1222 µε

Loi de Hooke : dans le domaine élastique, σ = E·ε. Avec σ = P/A et ε = δ/L, on obtient δ = PL/(AE).

Contrainte

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

Déformation (loi de Hooke)

E for laiton = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/100000 = 0,001222 = 1222 µε

Réponse

ε = 1222 µε

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 1,788 mm

Éléments en charge axiale : chaque tronçon prismatique vérifie δ = PL/(AE). Pour des tronçons en série, les allongements s’additionnent.

Même effort dans les deux tronçons

L’extrémité libre porte P, donc chaque section de la barre transmet le même effort normal P. Seules les aires et les matériaux changent.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Additionner les allongements des tronçons

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·500/200000 = 0,01989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·2000/100000 = 1,768 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,788 mm

Réponse

δ = 1,788 mm

3.Torsion des arbres

Réponse: G = 79,95 GPa

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Moment polaire et angle

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 5,84·π/180 = 0,1019 rad

Module de cisaillement

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(981,7·0,1019) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Réponse

G = 79,95 GPa

Pour comparaison : acier ≈ 80 GPa, laiton ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion des arbres

Réponse: φ_C = 0,8768 °

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 500 = −300 N·m

Torsion de chaque tronçon

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −300000·1000/(26000·251327) = −0,04591 rad

φ_BC = 200000·1000/(26000·251327) = 0,03061 rad

Torsion de l’extrémité C

φ_C = −0,04591 + 0,03061 = −0,0153 rad → |φ_C| = 0,8768°

Réponse

φ_C = 0,8768°

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 5,625 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe.

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, appliquée en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Couper en x = 0,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 12,5·0,5 − 5·0,5·0,25 = 5,625 kN·m

Réponse

M_x = 5,625 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: E (x = 8 m)

Plus grand moment fléchissant : M change de pente partout où l’effort tranchant change, donc ses pics se situent là où l’effort tranchant passe par zéro : sous une charge ponctuelle, à l’intérieur d’une charge répartie, ou sur un appui d’un porte-à-faux. À l’encastrement d’une console, le moment est le plus grand au mur. Comparez la valeur de M à ces endroits, positif ou négatif.

Réactions d’appui

Prenez les moments autour d’un appui, puis utilisez l’équilibre des forces verticales.

R₁ = 75,33 kN, R₂ = 58,67 kN

Moment fléchissant à chaque repère

Additionnez les moments de toutes les forces d’un côté de la coupe. Positif quand la poutre fléchit vers le bas, négatif sinon.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −37,33, M_D = −70,67, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Réponse

Repère E: M_E = −120 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: r = 21,51 mm

Moment quadratique : pour un rectangle, par rapport à son propre axe passant par le centre de gravité, I = bh³/12, et par rapport à sa base bh³/3 (théorème de Huygens : I = I_c + A·d²). Un trou se traite en soustrayant son I, à condition que les deux parties soient rapportées au même axe. Le module de flexion élastique vaut S = I/c, où c est la distance à la fibre extrême. Le rayon de giration r = √(I/A) est la distance à laquelle toute l’aire donnerait le même I ; il sert au flambement des poteaux.

Aire nette et moment quadratique net

A = π(D² − d²)/4 = 1885 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 871792 mm⁴

Rayon de giration

r = √(I/A) = √(871792/1885) = 21,51 mm

Réponse

r = 21,51 mm

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: M_allow = 15,49 kN·m

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Centre de gravité

ȳ = (1800·247,5 + 4800·120)/6600 = 154,8 mm

bord supérieur: c = 255 − 154,8 = 100,2 mm

Moment quadratique

I = 120·15³/12 + 1800·92,73² + 20·240³/12 + 4800·34,77² = 4,435 × 10⁷ mm⁴

Moment admis par chaque bord

Moment négatif : le haut est tendu, le bas comprimé.

bord supérieur: M = 35·4,435 × 10⁷/100,2 = 15,49 kN·m

bord inférieur: M = 100·4,435 × 10⁷/154,8 = 28,66 kN·m

Valeur déterminante

M_allow = min = 15,49 kN·m (bord supérieur)

Réponse

M_allow = 15,49 kN·m

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: θ_s = −35,01 °

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Angle sur le cercle

Sur le cercle de Mohr, le sommet (+R) est à 90° du point principal σ₁ ; sur l’élément, cela fait 45°.

cos 2θ_s = 40/117 = 0,3417, sin 2θ_s = −110/117 = −0,9398

2θ_s = atan2(−110, 40) = −70,02°

Angle sur l’élément

θ_s = −35,01°

vérification: θ_s − θ_p = −35,01 − 9,992 = −45°

Réponse

θ_s = −35,01°

Les angles positifs sont comptés dans le sens antihoraire.

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: |τ_n| = 4,821 MPa

Contraintes dans la paroi

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,5·300/5 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Projeter sur le cordon

Prenez x le long de l’axe (σ_a) et y selon la circonférence (σ_h). La normale au cordon fait 90° − α avec l’axe.

|τ_n| = (30 − 15)·sin 20°·cos 20° = 4,821 MPa

Réponse

|τ_n| = 4,821 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 57,14 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·4000³/(3·1,68 × 10¹³) = 19,05 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 38,1 mm

Les additionner

δ = 19,05 + 38,1 = 57,14 mm

Réponse

δ = 57,14 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: δ_max = 2,222 mm

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·2000³/(48·2,4 × 10¹²) = 1,528 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 0,6944 mm

Les additionner

δ_max = 1,528 + 0,6944 = 2,222 mm

Réponse

δ_max = 2,222 mm

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 38,86 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Un rectangle flambe autour de son axe faible, avec la plus petite dimension au cube.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·2000 = 2000 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38,86 kN

Réponse

P_cr = 38,86 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 105,8 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 105,8 mm

Réponse

d = 105,8 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 189, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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