Résistance des matériaux : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 14 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Contrainte et déformation axiales

Contrainte normale: σ = F/A
Déformation: ε = ΔL/L
Loi de Hooke: σ = E·ε
Allongement: ΔL = FL/(EA)
Déformation thermique: ε_T = α·ΔT

Torsion des arbres

Contrainte de cisaillement: τ = T·r/J
Arbre plein: J = πd⁴/32
Arbre creux: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angle de torsion: φ = TL/(GJ)
Puissance: P = T·ω = 2πnT/60

Méthode

Trouvez le moment quadratique polaire : J = πd⁴/32 pour un arbre plein.
Contrainte de cisaillement en surface : τ = T·r/J, avec r le rayon extérieur.
Angle de torsion : φ = TL/(GJ) en radians.
Si la puissance est donnée, trouvez d’abord le couple avec P = T·ω, ω = 2πn/60.

Effort tranchant et moment fléchissant

Effort tranchant et moment: V = ΣF d’un côté, M = ΣF·d d’un côté
Contrainte de flexion: σ = M·y/I
Rectangle: I = bh³/12
Module de flexion: W = I/y_max
Poutre sur deux appuis, charge uniforme: M_max = wL²/8

Méthode

Trouvez les réactions d’appui à partir de l’équilibre de la poutre entière.
Coupez la poutre à la section voulue et gardez un seul côté.
Effort tranchant : somme des forces verticales de ce côté. Moment fléchissant : somme de leurs moments par rapport à la coupure.
Pour le moment maximal, cherchez où l’effort tranchant s’annule.

Centre de gravité et moment quadratique

Centre de gravité: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectangle: I = bh³/12
Théorème de Huygens: I = I_c + A·d²
Section composée: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Centre: C = (σ_x + σ_y)/2
Rayon: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Contraintes principales: σ_1,2 = C ± R
Direction principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Facette inclinée: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Méthode

Calculez le centre du cercle de Mohr : C = (σx + σy)/2.
Calculez le rayon : R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Les contraintes principales valent C ± R et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.
Les angles sur le cercle sont le double des angles sur l’élément : tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flèche d’une poutre

Charge ponctuelle à mi-portée: δ = PL³/(48EI)
Charge uniforme, poutre sur deux appuis: δ = 5wL⁴/(384EI)
Console, charge en bout: δ = PL³/(3EI)
Console, charge uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposition: δ = δ₁ + δ₂

Flambement des poteaux

Charge critique d’Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficient de longueur de flambement: K = 1 articulé–articulé, 0,5 encastré–encastré, 0,7 encastré–articulé, 2 encastré–libre
Contrainte critique: σ_cr = P_cr/A
Élancement: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercices

1.Contrainte et déformation axialesMoyen

Une tige en acier (diamètre 20 mm, E = 200 GPa) se trouve à l’intérieur d’un tube en bronze (diamètre extérieur 120 mm, diamètre intérieur 50 mm, E = 110 GPa). Les deux mesurent 600 mm de long et sont comprimés ensemble entre des plaques rigides par 200 kN. Trouvez le raccourcissement δ.

P = 200 kNbarre: Ø20 mm, E = 200 GPatube: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Contrainte et déformation axialesDifficile

Un tronçon en acier (diamètre 25 mm, longueur 500 mm, E = 200 GPa) et un tronçon en bronze (diamètre 40 mm, longueur 400 mm, E = 110 GPa) sont assemblés bout à bout et fixés entre deux murs rigides. Une charge axiale de 50 kN agit à la jonction, vers le tronçon 2. Trouvez la valeur absolue de la contrainte σ₂ dans le tronçon 2.

tronçon 1: acier, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatronçon 2: bronze, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion des arbresMoyen

Un arbre creux doit transmettre un couple de 200 N·m. Son diamètre intérieur doit valoir 0,6 fois son diamètre extérieur, et la contrainte de cisaillement ne doit pas dépasser 40 MPa. Trouvez le plus petit diamètre extérieur d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.Torsion des arbresDifficile

Un arbre plein en acier de diamètre 60 mm est encastré en A. Un couple de 500 N·m agit en B, à 0,8 m de A, et un couple de 250 N·m de sens opposé agit à l’extrémité libre C, 3 m plus loin. Trouvez la contrainte de cisaillement maximale τ_max dans l’arbre.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,8 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissantMoyen

La poutre sur deux appuis porte un couple M₀ = 55 kN·m dans le sens horaire en x = 3 m à partir de A, et aucune autre charge. Trouvez le moment fléchissant M_x juste à gauche du couple. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 4 mM₀ = 55 kN·m dans le sens horaire, en 3 m

M_x = kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissantDifficile

Trouvez le moment fléchissant M_x dans la section x = 1,5 m à partir de l’appui A. Comptez positif un moment qui fait fléchir la poutre vers le bas et un effort tranchant vers le haut sur la face gauche.

L = 10 mP = 40 kN à 6 mw = 10 kN/m de 0 à 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratiqueMoyen

Une section en U est posée ouverture vers le haut : une semelle de 240 mm de large avec deux ailes verticales de 90 mm de hauteur totale. La semelle et les ailes ont toutes une épaisseur de 8 mm. Trouvez son moment quadratique I_x par rapport à l’axe horizontal x passant par son centre de gravité.

b = 240 mmh = 90 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratiqueDifficile

Une section en I symétrique a des semelles de 170 mm de large et 20 mm d’épaisseur, une hauteur totale de 240 mm et une âme de 8 mm d’épaisseur. Elle supporte un moment fléchissant de 100 kN·m autour de l’axe x. Trouvez la valeur absolue de la contrainte de flexion σ_j à la jonction de l’âme et de la semelle supérieure.

B = 170 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesMoyen

En un point, σₓ = 20 MPa, σᵧ = 110 MPa et τₓᵧ = −40 MPa (traction positive). L’élément est tourné de 35° dans le sens trigonométrique. Trouvez la contrainte normale σ_y′ sur les faces de l’élément tourné perpendiculaires à l’axe tourné y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintesDifficile

En un point d’une pièce chargée, σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa et τₓᵧ = −50 MPa (traction positive). Trouvez la contrainte de cisaillement τ_θ sur une facette dont la normale est tournée de 25° dans le sens antihoraire par rapport à l’axe x (positive dans le même sens que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Flèche d’une poutreMoyen

Une console porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur et une charge ponctuelle P à son extrémité libre. Par superposition, trouvez la flèche δ à l’extrémité libre.

P = 15 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acier)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flèche d’une poutreDifficile

Une poutre encastrée-appuyée est encastrée en A et simplement appuyée en B. Elle porte une charge uniformément répartie w sur toute sa longueur. EI est constant. Trouvez la valeur absolue du moment fléchissant M_A à l’encastrement.

L = 3 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambement des poteauxMoyen

Un poteau de longueur L en aluminium est articulé aux deux extrémités. Avec la formule d’Euler, trouvez sa charge critique de flambement P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambement des poteauxDifficile

Un poteau plein circulaire de longueur L en acier est articulé aux deux extrémités. Il doit porter 140 kN avec un coefficient de sécurité de 2,5 vis-à-vis du flambement. Trouvez le diamètre minimal d.

P = 140 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acier)

d = mm

3Solutions

1.Contrainte et déformation axiales

Réponse: δ = 0,11 mm

Deux matériaux : en série (l’un après l’autre), chaque tronçon supporte le même effort et les allongements s’additionnent : δ = P·Σ L/(E·A). En parallèle (côte à côte entre des plaques rigides), les deux parties se raccourcissent de la même quantité, donc leurs déformations sont égales : la partie la plus rigide prend la plus grande part, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, et σ_i = E_i·ε. Une barre tenue entre deux murs rigides avec une charge à la jonction est hyperstatique : les deux tronçons se partagent la charge proportionnellement à leur rigidité k = EA/L.

Aires

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidité axiale combinée

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·9346 = 1,091 × 10⁹ N

Raccourcissement

δ = 200000·600/1,091 × 10⁹ = 0,11 mm

Réponse

δ = 0,11 mm

2.Contrainte et déformation axiales

Réponse: σ₂ = 25,37 MPa

Rigidités

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Part du tronçon 2

F₂ = 50000·345575/541925 = 31884 N

Contrainte

σ₂ = 31884/1257 = 25,37 MPa (compression)

Réponse

σ₂ = 25,37 MPa

3.Torsion des arbres

Réponse: d_o = 30,81 mm

Torsion des arbres circulaires : la contrainte de cisaillement croît linéairement de zéro au centre jusqu’à τ_max = T·r/J en surface, avec J = πd⁴/32 pour un arbre plein et J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 pour un arbre creux. L’angle de torsion vaut φ = TL/(GJ) en radians. Puissance et couple sont liés par P = T·ω.

Diamètre extérieur à partir de la contrainte admissible

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·40·0,8704)) = 30,81 mm

d_i = 0,6·30,81 = 18,49 mm

Réponse

d_o = 30,81 mm

Un arbre plein nécessiterait d = 29,42 mm ; l’arbre creux est un peu plus gros mais beaucoup plus léger.

4.Torsion des arbres

Réponse: τ_max = 5,895 MPa

Couples internes

Sens de T_C pris comme positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 500 = −250 N·m

Contrainte de cisaillement maximale

Le tronçon dont le couple interne est le plus grand a la plus grande contrainte (même diamètre).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·60³) = 5,895 MPa

Réponse

τ_max = 5,895 MPa

5.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = −41,25 kN·m

Méthode des coupures : coupez la poutre là où vous voulez les efforts internes et gardez un côté. L’effort tranchant V équilibre les forces verticales de ce côté, et le moment fléchissant M équilibre leurs moments par rapport à la coupe. Un couple appliqué fait sauter le diagramme du moment fléchissant de la valeur du couple.

Réactions d’appui

Moments par rapport à A, sens trigonométrique positif : R_B·L − M₀ = 0. Équilibre vertical : R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/4 = 13,75 kN (vers le haut)

R_A = −R_B = −13,75 kN (vers le bas)

Coupure juste à gauche du couple

La partie gauche ne contient que R_A.

M_x = R_A·a = −13,75·3 = −41,25 kN·m

Réponse

M_x = −41,25 kN·m

6.Effort tranchant et moment fléchissant

Réponse: M_x = 87,75 kN·m

Réactions d’appui

Équilibre de toute la poutre.

Résultante de la charge répartie : W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, appliquée en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·6 + 10·10·5

R_B = 740/10 = 74 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 74 = 66 kN

Couper en x = 1,5 m et garder la partie gauche

Seules les forces à gauche de la coupe apparaissent. Une portion de charge répartie agit comme une force au milieu de cette portion.

M = R_A·x − (chaque charge à gauche de la coupe × sa distance à la coupe)

M_x = 66·1,5 − 10·1,5·0,75 = 87,75 kN·m

Réponse

M_x = 87,75 kN·m

7.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: I_x = 2,324 × 10⁶ mm⁴

Sections composées : découpez la section en rectangles. Le centre de gravité est la moyenne pondérée par les aires ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Le moment quadratique par rapport à l’axe passant par le centre de gravité additionne pour chaque partie son propre bh³/12 et son terme de Huygens A·d², où d est la distance entre le centre de gravité de la partie et celui de la section. La contrainte de flexion vaut σ = M·y/I.

Décomposer en rectangles

Prenez la semelle sur toute la largeur et les deux ailes au-dessus (hauteur h − t), pour ne rien compter deux fois.

excipient: A₁ = 240·8 = 1920 mm², y₁ = 4 mm

deux ailes: A₂ = 2·8·82 = 1312 mm², y₂ = 8 + 82/2 = 49 mm

Centre de gravité

ȳ = (1920·4 + 1312·49)/3232 = 22,27 mm

Théorème de Huygens

excipient: 240·8³/12 + 1920·(4 − 22,27)² = 650935 mm⁴

deux ailes: 2·8·82³/12 + 1312·(49 − 22,27)² = 1,673 × 10⁶ mm⁴

I_x = 650935 + 1,673 × 10⁶

I_x = 2,324 × 10⁶ mm⁴ = 2,324 × 10⁶ mm⁴

Réponse

I_x = 2,324 × 10⁶ mm⁴

8.Centre de gravité et moment quadratique

Réponse: σ_j = 113,8 MPa

Rectangle extérieur moins les deux évidements latéraux

Les deux évidements ensemble font (B − t_w) de large et h_w = H − 2t_f de haut, et sont rapportés à l’axe x.

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·240³ − 162·200³)/12

I_x = 8,784 × 10⁷ mm⁴

Contrainte de flexion

y = 120 − 20 = 100 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·100/8,784 × 10⁷ = 113,8 MPa

Réponse

σ_j = 113,8 MPa

9.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: σ_y′ = 118 MPa

Changement de repère en contraintes planes : sur une facette tournée de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Le cercle de Mohr représente toutes les facettes à la fois : son centre est en C = (σₓ + σᵧ)/2 et son rayon vaut R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Les contraintes principales valent C ± R, et la plus grande contrainte de cisaillement dans le plan vaut R.

Formule de changement de repère pour la face y′

σ_y′ = 65 − (−45)·0,342 − (−40)·0,9397 = 118 MPa

Vérification

La somme des contraintes normales ne change pas avec la rotation.

σ_x′ = 12,02 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Réponse

σ_y′ = 118 MPa

10.Cercle de Mohr et changement de repère des contraintes

Réponse: τ_θ = −62,78 MPa

Formule de changement de repère

τ_θ = −40·0,766 + −50·0,6428 = −62,78 MPa

Réponse

τ_θ = −62,78 MPa

11.Flèche d’une poutre

Réponse: δ = 71,11 mm

Flèche des poutres : les flèches s’obtiennent en intégrant deux fois la courbure M/(EI). Les cas courants sont tabulés, par exemple PL³/(3EI) pour une console avec charge en bout et 5wL⁴/(384EI) pour une poutre sur deux appuis sous charge uniforme. Les flèches dues à des charges différentes s’additionnent (superposition).

Unités cohérentes

Travaillez en N et mm : P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Chaque charge seule

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·4000³/(3·7,2 × 10¹²) = 44,44 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 26,67 mm

Les additionner

δ = 44,44 + 26,67 = 71,11 mm

Réponse

δ = 71,11 mm

12.Flèche d’une poutre

Réponse: M_A = 6,75 kN·m

Supprimer l’appui simple

Sans l’appui simple, la poutre est une console. Son extrémité libre fléchirait sous la charge.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilité à l’appui simple

La réaction R_B seule soulève l’extrémité libre de R_BL³/(3EI). L’appui maintient B à flèche nulle, donc les deux doivent s’annuler. EI se simplifie.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6,75 kN

Moment à l’encastrement

Moments par rapport à A des charges et de la réaction de l’appui simple.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 27 − 20,25 = 6,75 kN·m

Réponse

M_A = 6,75 kN·m

13.Flambement des poteaux

Réponse: P_cr = 38,59 kN

Flambement d’Euler : un poteau élancé devient instable à P_cr = π²EI/(KL)², où KL est la longueur de flambement : K = 1 pour articulé–articulé, 2 pour encastré–libre, 0,7 pour encastré–articulé et 0,5 pour encastré–encastré. Il flambe autour de l’axe ayant le plus petit I. La formule vaut pour les poteaux élancés, dont la contrainte critique reste sous la limite d’élasticité.

Plus petit moment quadratique

Une section circulaire a le même I par rapport à tout axe.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longueur de flambement

KL = 1·1500 = 1500 mm

Charge critique

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

Réponse

P_cr = 38,59 kN

14.Flambement des poteaux

Réponse: d = 61,65 mm

Charge critique nécessaire

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Isoler le diamètre

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,65 mm

Réponse

d = 61,65 mm

Vérification : l’élancement KL/r vaut 129,8, le poteau est donc élancé et Euler s’applique.

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