Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 2 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 10 s avec la méthode des trapèzes.
h = 2 sn = 5
s = m
2.Méthodes numériquesDifficile
Résolvez y′ = t + y, y(0) = 3 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,25 jusqu’à t = 1,25. La solution exacte est y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,25) − y5|.
y′ = t + yy(0) = 3h = 0,25
|E| =
3.Suites et sériesMoyen
Exactement une des quatre séries diverge. Cliquez dessus.
A: Σ k²/5ᵏB: Σ 5/k⁴C: Σ (4/5)ᵏD: Σ (1 + 1/k)ᵏ
1A: Σ k²/5ᵏ
2B: Σ 5/k⁴
3C: Σ (4/5)ᵏ
4D: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = cos x est approchée par son polynôme de Maclaurin de degré 2 en x = 1,5. Utilisez la majoration de l’erreur de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! avec M = 1 pour trouver la plus grande erreur possible |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 1,5M = 1
|R₂| =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Soit C = AB pour les matrices représentées. Trouve le coefficient c11 (ligne 1, colonne 1).
A = [3 3; −5 2]B = [−5 6; 0 −6]
c11 =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Résous le système 3x − 5y = −3 et 3x − 3y = 8. Trouve x.
3x − 5y = −33x − 3y = 8
x =
7.Équations différentiellesMoyen
Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 8 min, sa température est de 49 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 31 °C ?
T0 = 86 °CTa = 22 °CT(8) = 49 °CT = 31 °C
t = min
8.Équations différentiellesDifficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 6x2 pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(2).
y′ + 3y/x = 6x2y(1) = 0
y(2) =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: s = 136 m
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Somme pondérée
5 + 2·10 + 2·11 + 2·16 + 2·19 + 19 = 136
Méthode des trapèzes
s = (2/2)·136 = 136 m
Réponse
s = 136 m
2.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 1,754
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y5 = 9,957031
Valeur exacte
y(1,25) = 11,711372
Erreur globale
|E| = |11,711372 − 9,957031| = 1,754
Graphique
Réponse
|E| = 1,754
Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.
3.Suites et séries
Réponse: D: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Tester chaque série
A: Σ k²/5ᵏ → Test du rapport : L = 1/5 < 1, converge.
B: Σ 5/k⁴ → Série de Riemann avec p = 4 > 1 : converge.
C: Σ (4/5)ᵏ → Géométrique de raison r = 4/5, |r| < 1 : converge.
D: Σ (1 + 1/k)ᵏ → Les termes tendent vers e, pas vers 0 : diverge d’après le test du terme général.
La réponse
D: Σ (1 + 1/k)ᵏ
Réponse
D: Σ (1 + 1/k)ᵏ
4.Suites et séries
Réponse: |R₂| = 0,5625
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majoration de la dérivée
M = 1
Majoration de Lagrange
|R₂| ≤ 1·1,5³/3! = 0,5625
Réponse
|R₂| = 0,5625
L’erreur réelle est plus petite : |f(1,5) − P₂(1,5)| = 0,1957.
5.Matrices et déterminants
Réponse: c11 = −15
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Ligne fois colonne
c11 = 3·(−5) + 3·0 = −15
Réponse
c11 = −15
6.Matrices et déterminants
Réponse: x = 8,167
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Déterminant de la matrice des coefficients
det A = 3·(−3) − (−5)·3 = 6
Remplacer la colonne de x
det Aₓ = (−3)·(−3) − (−5)·8 = 49
x = 49/6 = 8,167
Réponse
x = 8,167
y = 5,5
7.Équations différentielles
Réponse: t = 18,18 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Constante de refroidissement
k = ln(64/27)/8 = 0,1079 min⁻¹
Temps pour atteindre la valeur visée
t = ln(64/9)/0,1079 = 18,18 min
Réponse
t = 18,18 min
8.Équations différentielles
Réponse: y(2) = 7,875
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.