Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
Approchez ∫02 x³ dx par la méthode des trapèzes, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |T − I|.
f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Méthodes numériquesDifficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = −2ty, y(0) = 1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).
y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,25
y2 =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez la somme S = Σk=1∞ 3/(k(k + 3)).
ak = 3/(k(k + 3))
S =
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = sin x est approchée en x = 1,5 par son polynôme de Maclaurin de degré n. Avec la majoration de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! et M = 1, trouvez le plus petit degré n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 0,0001
n =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Soit C = AB pour les matrices représentées. Trouve le coefficient c22 (ligne 2, colonne 2).
A = [1 −5; −2 −1]B = [5 0; −3 −6]
c22 =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [1 −3; 5 −7]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 1. Trouvez y(0,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 4y′(0) = 1
y(0.5) =
8.Équations différentiellesDifficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 29 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 1
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Valeur exacte
I = 4
Méthode des trapèzes
T = (1/2)·(0 + 2·1 + 8) = 5
Erreur
|E| = |5 − 4| = 1
Réponse
|E| = 1
Erreur relative : 25 %.
2.Méthodes numériques
Réponse: y2 = 0,7764
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Décomposition en éléments simples
3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Annuler
S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833
Réponse
S = 1,833
4.Suites et séries
Réponse: n = 9
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majorations pour n croissant
n = 8: 0,0001059 ≥ 0,0001
n = 9: 1,589 × 10⁻⁵ < 0,0001
Plus petit degré
n = 9
Réponse
n = 9
5.Matrices et déterminants
Réponse: c22 = 6
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Ligne fois colonne
c22 = (−2)·0 + (−1)·(−6) = 6
Réponse
c22 = 6
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = −2
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (−6)λ + (8) = 0
Résoudre
λ = (−6 ± √(4))/2 → λ = −4, −2
λ = −2
Réponse
λ = −2
7.Équations différentielles
Réponse: y(0.5) = 1,809
Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.
Racines caractéristiques
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
Constantes à partir des valeurs initiales
A + B = 4, −3A − 5B = 1
A = 10,5, B = −6,5
Évaluer
y(0,5) = 10,5·e−1,5 + (−6,5)·e−2,5 = 1,809
Réponse
y(0,5) = 1,809
8.Équations différentielles
Réponse: ymax = 1,285
Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.