Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
Approchez ∫01 1/(1 + x³) dx par la méthode des trapèzes avec n = 2 bandes. Donnez T.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 2
T =
2.Méthodes numériquesDifficile
Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 1. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).
y′ = e−tyy(0) = 1h = 0,1
y1 =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez la somme S = Σk=131 4/(k(k + 1)).
ak = 4/(k(k + 1))n = 31
S =
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = sin x est approchée en x = 1,5 par son polynôme de Maclaurin de degré n. Avec la majoration de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! et M = 1, trouvez le plus petit degré n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁶.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [4 4 5; 1 −5 −3; 0 −1 −1]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Résous le système 3x + 5y = 12 et 4x − 5y = −9. Trouve x.
3x + 5y = 124x − 5y = −9
x =
7.Équations différentiellesMoyen
Résolvez y″ + 3y′ + 2y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 0. Trouvez y(1,5).
y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1.5) =
8.Équations différentiellesDifficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 2x pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = 2xy(1) = 0
y(3) =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: T = 0,8194
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Nœuds et valeurs
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,888889 + 0,5 = 3,277778
Méthode des trapèzes
T = (0,5/2)·3,277778 = 0,8194
Réponse
T = 0,8194
Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.
2.Méthodes numériques
Réponse: y1 = 1,095
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Décomposition en éléments simples
4/(k(k + 1)) = 4·(1/k − 1/(k + 1))
Annuler
S = 4·(1 − 1/32) = 3,875
Réponse
S = 3,875
4.Suites et séries
Réponse: n = 11
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majorations pour n croissant
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 11: 2,709 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Plus petit degré
n = 11
Réponse
n = 11
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = 7
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = 2, M₁₂ = −1, M₁₃ = −1
Développement par cofacteurs
det A = 4·2 − 4·(−1) + 5·(−1) = 7
Réponse
det A = 7
6.Matrices et déterminants
Réponse: x = 0,4286
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Déterminant de la matrice des coefficients
det A = 3·(−5) − 5·4 = −35
Remplacer la colonne de x
det Aₓ = 12·(−5) − 5·(−9) = −15
x = −15/(−35) = 0,4286
Réponse
x = 0,4286
y = 2,143
7.Équations différentielles
Réponse: y(1.5) = 1,189
Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.
Racines caractéristiques
(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2
Constantes à partir des valeurs initiales
A + B = 3, −1A − 2B = 0
A = 6, B = −3
Évaluer
y(1,5) = 6·e−1,5 + (−3)·e−3 = 1,189
Réponse
y(1,5) = 1,189
8.Équations différentielles
Réponse: y(3) = 3,585
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.