Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 1 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 4 s avec la méthode de Simpson.
h = 1 sn = 4
s = m
2.Méthodes numériquesDifficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,25 pour y′ = e−ty, y(0) = 0,5 afin d’estimer y2 ≈ y(0,5).
y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,25
y2 =
3.Suites et sériesMoyen
Exactement une des quatre séries converge. Cliquez dessus.
A: Σ 5/kB: Σ (k + 2)/k²C: Σ (1/2)ᵏD: Σ 2ᵏ/k³
1A: Σ 5/k
2B: Σ (k + 2)/k²
3C: Σ (1/2)ᵏ
4D: Σ 2ᵏ/k³
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = ln(1 + x) est approchée par son polynôme de Maclaurin de degré 2 en x = 0,2. Utilisez la majoration de l’erreur de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! avec M = 2! = 2 pour trouver la plus grande erreur possible |R₂|.
f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,2M = 2
|R₂| =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [0 −3 −5; 0 −2 −2; 5 −5 2]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Résous le système 4x − y = −4 et −x + 5y = 6. Trouve x.
4x − y = −4−x + 5y = 6
x =
7.Équations différentiellesMoyen
Une pièce d’acier forgé à 340 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Au bout de 48 min, sa température est de 52 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 340 °CTa = 23 °CT(48) = 52 °C
k = min⁻¹
8.Équations différentiellesDifficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 3 pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(2).
y′ + 3y/x = 3y(1) = 2
y(2) =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: s = 37,67 m
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Somme pondérée
0 + 4·5 + 2·11 + 4·13 + 19 = 113
Méthode de Simpson
s = (1/3)·113 = 37,67 m
Réponse
s = 37,67 m
2.Méthodes numériques
Réponse: y2 = 0,9111
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Tester chaque série
A: Σ 5/k → Un multiple de la série harmonique (p = 1) : diverge.
B: Σ (k + 2)/k² → Se comporte comme 1/k pour k grand : diverge par comparaison avec la série harmonique.
C: Σ (1/2)ᵏ → Géométrique de raison r = 1/2, |r| < 1 : converge.
D: Σ 2ᵏ/k³ → Test du rapport : L = 2 > 1, diverge.
La réponse
C: Σ (1/2)ᵏ
Réponse
C: Σ (1/2)ᵏ
4.Suites et séries
Réponse: |R₂| = 0,002667
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majoration de la dérivée
M = 2! = 2
Majoration de Lagrange
|R₂| ≤ 2·0,2³/3! = 0,002667
Réponse
|R₂| = 0,002667
L’erreur réelle est plus petite : |f(0,2) − P₂(0,2)| = 0,002322.
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = −20
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = −14, M₁₂ = 10, M₁₃ = 10
Développement par cofacteurs
det A = 0·(−14) − (−3)·10 + (−5)·10 = −20
Réponse
det A = −20
6.Matrices et déterminants
Réponse: x = −0,7368
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Déterminant de la matrice des coefficients
det A = 4·5 − (−1)·(−1) = 19
Remplacer la colonne de x
det Aₓ = (−4)·5 − (−1)·6 = −14
x = −14/19 = −0,7368
Réponse
x = −0,7368
y = 1,053
7.Équations différentielles
Réponse: k = 0,04983 min⁻¹
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Rapport des écarts de température
e−48k = 29/317
Résoudre pour k
k = ln(317/29)/48 = 0,04983 min⁻¹
Réponse
k = 0,04983 min⁻¹
8.Équations différentielles
Réponse: y(2) = 1,656
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.