Méthodes numériques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Méthodes numériques

Dichotomie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Méthode de Simpson (n pair): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Majoration de l’erreur des trapèzes: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Méthode

Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.

Suites et séries

Suite arithmétique: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence: R = lim |c_k/c_k+1|
Polynôme de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Méthode

Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrices et déterminants

déterminant 2×2: det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Valeurs propres: det(A − λI) = 0
Règle de Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercices

1.Méthodes numériquesMoyen

La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 10 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 60 s avec la méthode des trapèzes.

h = 10 sn = 6

s = m

2.Méthodes numériquesDifficile

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = cos t − y, y(0) = −1 afin d’estimer y₅ ≈ y(1,25).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25

y₅ =

3.Suites et sériesMoyen

Trouvez le rayon de convergence R de la série entière Σ_k=1^∞ 25ᵏx²ᵏ/k.

Σ 25ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Suites et sériesDifficile

f(x) = ln(1 + x) est approchée par son polynôme de Maclaurin de degré 5 en x = 0,2. Utilisez la majoration de l’erreur de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! avec M = 5! = 120 pour trouver la plus grande erreur possible |R₅|.

f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0,2M = 120

|R₅| =

5.Matrices et déterminantsMoyen

Soit C = AB pour les matrices représentées. Trouve le coefficient c₂₁ (ligne 2, colonne 1).

A = [6 0; −2 4]B = [−2 1; 0 −1]

c₂₁ =

6.Matrices et déterminantsDifficile

Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.

A = [0 1; 4 −3]

λ =

7.Équations différentiellesMoyen

Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,12 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 22 min.

T₀ = 86 °CT_a = 22 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 22 min

T = °C

8.Équations différentiellesDifficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 2x pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(3).

y′ + y/x = 2xy(1) = 2

y(3) =

3Solutions

1.Méthodes numériques

Réponse: s = 620 m

Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.

Somme pondérée

1 + 2·6 + 2·9 + 2·9 + 2·13 + 2·17 + 15 = 124

Méthode des trapèzes

s = (10/2)·124 = 620 m

Réponse

s = 620 m

2.Méthodes numériques

Réponse: y₅ = 0,3397

Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.

Pas d’Euler

y₁ = −1 + 0,25·(2) = −0,5

y₂ = −0,5 + 0,25·(1,468912) = −0,132772

y₃ = −0,132772 + 0,25·(1,010354) = 0,119817

y₄ = 0,119817 + 0,25·(0,611872) = 0,272785

y₅ = 0,272785 + 0,25·(0,267518) = 0,339664

Graphique

y₅ = 0,3397

Réponse

y₅ = 0,3397

3.Suites et séries

Réponse: R = 0,2

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |a_k+1/a_k| ; test de la racine : L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σc_k(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |c_k/c_k+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Coefficients

La série est en x² : elle converge pour 25·x² < 1, donc |x| < 1/5.

Rayon

R = 0,2

Réponse

R = 0,2

Le test du rapport ne dit rien aux deux extrémités ; il faut les vérifier séparément.

4.Suites et séries

Réponse: |R₅| = 1,067 × 10⁻⁵

Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

Majoration de la dérivée

M = 5! = 120

Majoration de Lagrange

|R₅| ≤ 120·0,2⁶/6! = 1,067 × 10⁻⁵

Réponse

|R₅| = 1,067 × 10⁻⁵

L’erreur réelle est plus petite : |f(0,2) − P₅(0,2)| = 9,11 × 10⁻⁶.

5.Matrices et déterminants

Réponse: c₂₁ = 4

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Ligne fois colonne

c₂₁ = (−2)·(−2) + 4·0 = 4

Réponse

c₂₁ = 4

6.Matrices et déterminants

Réponse: λ = 1

Équation caractéristique

λ² − (−3)λ + (−4) = 0

Résoudre

λ = (−3 ± √(25))/2 → λ = −4, 1

λ = 1

Réponse

λ = 1

7.Équations différentielles

Réponse: T = 26,57 °C

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·e^kt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e^{∫p dx} : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Solution de la loi de refroidissement

T(t) = 22 + 64·e^−0,12t

Remplacer t

T(22) = 22 + 64·0,07136 = 26,57 °C

Réponse

T = 26,57 °C

8.Équations différentielles

Réponse: y(3) = 6,444

Facteur intégrant

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Intégrer

(x¹y)′ = 2x² → x¹y = 2x³/3 + C

Condition initiale

2 = 2/3 + C → C = 1,333

Évaluer

y(3) = (2·3³/3 + 1,333)/3¹ = 6,444

Réponse

y(3) = 6,444

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