Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫13 1/x dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [1, 3]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 1 × 10⁻⁵.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Méthodes numériquesDifficile
Résolvez y′ = −2ty, y(0) = 2 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,1 jusqu’à t = 0,4. La solution exacte est y = y₀e−t². Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,4) − y4|.
y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,1
|E| =
3.Suites et sériesMoyen
Exactement une des quatre séries diverge. Cliquez dessus.
A: Σ (3/2)ᵏB: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ 1/(k² + 3)D: Σ (4/5)ᵏ
1A: Σ (3/2)ᵏ
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ 1/(k² + 3)
4D: Σ (4/5)ᵏ
4.Suites et sériesDifficile
Reconnaissez la série et trouvez sa somme : S = Σk=1∞ k·(−0,5)ᵏ.
ak = k·(−0,5)ᵏ
S =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [−4 −3 5; 2 4 −3; 1 −1 5]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [−2 1; 1 −2]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Une pièce d’acier forgé à 300 °C refroidit dans un atelier à 30 °C. Au bout de 29 min, sa température est de 93 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 176 °C ?
T0 = 300 °CTa = 30 °CT(29) = 93 °CT = 176 °C
t = min
8.Équations différentiellesDifficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 2x pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = 2xy(1) = −3
y(3) =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: n = 366
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Majoration de la dérivée seconde
M = 2/1³ = 2
Résoudre pour n
n² > 8·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 133333
n > 365,1 → n = 366
Réponse
n = 366
2.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 0,06442
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y4 = 1,768704
Valeur exacte
y(0,4) = 1,704288
Erreur globale
|E| = |1,704288 − 1,768704| = 0,06442
Graphique
Réponse
|E| = 0,06442
Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.
3.Suites et séries
Réponse: A: Σ (3/2)ᵏ
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Tester chaque série
A: Σ (3/2)ᵏ → Géométrique de raison r = 3/2 > 1 : les termes croissent, donc elle diverge.
B: Σ (−1)ᵏ/k → Alternée, avec 1/k décroissant vers 0 : converge (conditionnellement).
C: Σ 1/(k² + 3) → Inférieur à 1/k², une série de Riemann convergente : converge par comparaison.
D: Σ (4/5)ᵏ → Géométrique de raison r = 4/5, |r| < 1 : converge.
La réponse
A: Σ (3/2)ᵏ
Réponse
A: Σ (3/2)ᵏ
4.Suites et séries
Réponse: S = −0,2222
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Séries usuelles
Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²
Remplacer
x = −0,5
S = −0,5/(1 − (−0,5))² = −0,2222
Réponse
S = −0,2222
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = −59
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = 17, M₁₂ = 13, M₁₃ = −6
Développement par cofacteurs
det A = (−4)·17 − (−3)·13 + 5·(−6) = −59
Réponse
det A = −59
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = −1
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (−4)λ + (3) = 0
Résoudre
λ = (−4 ± √(4))/2 → λ = −3, −1
λ = −1
Réponse
λ = −1
7.Équations différentielles
Réponse: t = 12,25 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Constante de refroidissement
k = ln(270/63)/29 = 0,05018 min⁻¹
Temps pour atteindre la valeur visée
t = ln(270/146)/0,05018 = 12,25 min
Réponse
t = 12,25 min
8.Équations différentielles
Réponse: y(3) = 3,474
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.