Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
Approchez ∫02 1/√(1 + x⁴) dx par la méthode de Simpson avec n = 6 bandes. Donnez S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 6
S =
2.Méthodes numériquesDifficile
Résolvez y′ = t − y, y(0) = 1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,2 jusqu’à t = 0,8. La solution exacte est y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(0,8) − y4|.
y′ = t − yy(0) = 1h = 0,2
|E| =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez le rayon de convergence R de la série entière Σk=1∞ 3ᵏ·xᵏ/(k + 1).
Σ 3ᵏ·xᵏ/(k + 1)x₀ = 0
R =
4.Suites et sériesDifficile
Trouvez le coefficient c₄ de (x − 3)⁴ dans la série de Taylor de f(x) = ln x en a = 3.
f(x) = ln xa = 3k = 4
c₄ =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [−4 2 3; 5 −2 3; 4 5 2]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [−2 3; −7 8]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = -2. Trouvez y(0,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = -2
y(0.5) =
8.Équations différentiellesDifficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 2x2 pour x > 0, avec y(1) = −2. Trouvez y(3).
y′ + 2y/x = 2x2y(1) = −2
y(3) =
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: S = 1,357
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.
2.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 0,07946
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y4 = 0,6192
Valeur exacte
y(0,8) = 0,698658
Erreur globale
|E| = |0,698658 − 0,6192| = 0,07946
Graphique
Réponse
|E| = 0,07946
Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.
3.Suites et séries
Réponse: R = 0,3333
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Coefficients
ck/ck+1 = (1/3)·(k + 2)/(k + 1) → 0,3333
Rayon
R = 0,3333
Réponse
R = 0,3333
Le test du rapport ne dit rien aux deux extrémités ; il faut les vérifier séparément.
4.Suites et séries
Réponse: c₄ = −0,003086
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Dérivée f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Coefficient
c₄ = f⁽⁴⁾(3)/4! = −6/(3⁴·24) = −0,003086
c₄ = −0,003086
Réponse
c₄ = −0,003086
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = 179
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = −19, M₁₂ = −2, M₁₃ = 33
Développement par cofacteurs
det A = (−4)·(−19) − 2·(−2) + 3·33 = 179
Réponse
det A = 179
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = 5
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (6)λ + (5) = 0
Résoudre
λ = (6 ± √(16))/2 → λ = 1, 5
λ = 5
Réponse
λ = 5
7.Équations différentielles
Réponse: y(0.5) = 0,2937
Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.
Racines caractéristiques
(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5
Constantes à partir des valeurs initiales
A + B = 1, −3A − 5B = -2
A = 1,5, B = −0,5
Évaluer
y(0,5) = 1,5·e−1,5 + (−0,5)·e−2,5 = 0,2937
Réponse
y(0,5) = 0,2937
8.Équations différentielles
Réponse: y(3) = 10,53
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.