Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,001
n =
2.Méthodes numériquesDifficile
Résolvez y′ = y − t², y(0) = −1 avec la méthode d’Euler et le pas h = 0,5 jusqu’à t = 1,5. La solution exacte est y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Trouvez l’erreur globale |E| = |y(1,5) − y3|.
y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,5
|E| =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez la somme S = Σk=1∞ 6/(k(k + 4)).
ak = 6/(k(k + 4))
S =
4.Suites et sériesDifficile
Trouvez le coefficient c₂ de (x − 3)² dans la série de Taylor de f(x) = ln x en a = 3.
f(x) = ln xa = 3k = 2
c₂ =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [4 −5 −2; −5 2 −1; 2 −4 0]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [1 4; 1 −2]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 4. Trouvez y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 4
y(1.5) =
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 400 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 32 kg de sel ?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
t = min
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: n = 71
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Majoration de la dérivée seconde
M = e2 = 7,389
Résoudre pour n
n² > 8·7,389/(12·0,001) = 4926
n > 70,19 → n = 71
Réponse
n = 71
2.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 2,133
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y3 = −4,0625
Valeur exacte
y(1,5) = −6,195067
Erreur globale
|E| = |−6,195067 + 4,0625| = 2,133
Graphique
Réponse
|E| = 2,133
Diviser h par deux divise à peu près par deux l’erreur de la méthode d’Euler.
3.Suites et séries
Réponse: S = 3,125
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Décomposition en éléments simples
6/(k(k + 4)) = (6/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Annuler
S = (6/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 3,125
Réponse
S = 3,125
4.Suites et séries
Réponse: c₂ = −0,05556
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Dérivée f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = −1/x²
Coefficient
c₂ = f⁽²⁾(3)/2! = −1/(3²·2) = −0,05556
c₂ = −0,05556
Réponse
c₂ = −0,05556
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = −38
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = −4, M₁₂ = 2, M₁₃ = 16
Développement par cofacteurs
det A = 4·(−4) − (−5)·2 + (−2)·16 = −38
Réponse
det A = −38
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = 2
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (−1)λ + (−6) = 0
Résoudre
λ = (−1 ± √(25))/2 → λ = −3, 2
λ = 2
Réponse
λ = 2
7.Équations différentielles
Réponse: y(1.5) = 0,3722
Équations linéaires du second ordre : pour y″ + b·y′ + c·y = 0, essayez y = ert : on obtient l’équation caractéristique r² + b·r + c = 0. Deux racines réelles r₁ ≠ r₂ donnent y = A·er₁t + B·er₂t (suramorti) ; une racine double r donne y = (A + Bt)·ert (amortissement critique) ; des racines complexes −α ± jω donnent y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (sous-amorti, oscillant). Les valeurs initiales y(0) et y′(0) fixent A et B. Écrite sous la forme y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn est la pulsation propre et ζ le coefficient d’amortissement : ζ < 1 donne des oscillations. Avec une entrée constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solution est la valeur stationnaire K plus la réponse libre.
Racine double
(r + 3)² = 0 → r = −3
Constantes
A = y(0) = 5
y′(0) = B − 3A → B = 4 + 15 = 19
Évaluer
y(1,5) = (5 + 19·1,5)·e−4,5 = 0,3722
Réponse
y(1,5) = 0,3722
8.Équations différentielles
Réponse: t = 20,43 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.