Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫01 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 1]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0001.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
2.Méthodes numériquesDifficile
Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y − t², y(0) = 2 afin d’estimer y4 ≈ y(1).
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,25
y4 =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez le rayon de convergence R de la série entière Σk=1∞ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)².
Σ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)²x₀ = 2
R =
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = ln(1 + x) est approchée par son polynôme de Maclaurin de degré 5 en x = 0,3. Utilisez la majoration de l’erreur de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! avec M = 5! = 120 pour trouver la plus grande erreur possible |R₅|.
f(x) = ln(1 + x)n = 5x = 0,3M = 120
|R₅| =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [5 1 −2; 3 −5 −5; 0 −4 −3]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [4 2; 1 3]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Une tasse de café à 94 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Au bout de 29 min, sa température est de 21 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 20 °C ?
T0 = 94 °CTa = 18 °CT(29) = 21 °CT = 20 °C
t = min
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 95 min ?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: n = 48
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Majoration de la dérivée seconde
M = e1 = 2,718
Résoudre pour n
n² > 1·2,718/(12·0,0001) = 2265
n > 47,59 → n = 48
Réponse
n = 48
2.Méthodes numériques
Réponse: y4 = 4,64
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y₁ = 2 + 0,25·(2) = 2,5
y₂ = 2,5 + 0,25·(2,4375) = 3,109375
y₃ = 3,109375 + 0,25·(2,859375) = 3,824219
y₄ = 3,824219 + 0,25·(3,261719) = 4,639648
Graphique
y4 = 4,64
Réponse
y4 = 4,64
La valeur exacte est y(1) = 5.
3.Suites et séries
Réponse: R = 0,25
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Coefficients
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, donc R = 1/4
Rayon
R = 0,25
Réponse
R = 0,25
Le test du rapport ne dit rien aux deux extrémités ; il faut les vérifier séparément.
4.Suites et séries
Réponse: |R₅| = 0,0001215
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majoration de la dérivée
M = 5! = 120
Majoration de Lagrange
|R₅| ≤ 120·0,3⁶/6! = 0,0001215
Réponse
|R₅| = 0,0001215
L’erreur réelle est plus petite : |f(0,3) − P₅(0,3)| = 9,674 × 10⁻⁵.
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = 8
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = −5, M₁₂ = −9, M₁₃ = −12
Développement par cofacteurs
det A = 5·(−5) − 1·(−9) + (−2)·(−12) = 8
Réponse
det A = 8
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = 5
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (7)λ + (10) = 0
Résoudre
λ = (7 ± √(9))/2 → λ = 2, 5
λ = 5
Réponse
λ = 5
7.Équations différentielles
Réponse: t = 32,64 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Constante de refroidissement
k = ln(76/3)/29 = 0,1115 min⁻¹
Temps pour atteindre la valeur visée
t = ln(76/2)/0,1115 = 32,64 min
Réponse
t = 32,64 min
8.Équations différentielles
Réponse: m = 170,8 kg
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Mettre en équation
dm/dt = 20·0,2 − (20/1000)·m = 4 − 0,02·m
Résoudre
Le facteur intégrant est ert/V ; la solution tend vers l’équilibre c·V.