Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La vitesse d’un véhicule est mesurée toutes les 5 s (tableau). Estimez la distance s parcourue de t = 0 à t = 20 s avec la méthode des trapèzes.
h = 5 sn = 4
s = m
2.Méthodes numériquesDifficile
Faites un pas de la méthode de Runge–Kutta classique (RK4) avec h = 0,1 pour y′ = e−ty, y(0) = 0. Trouvez y₁ ≈ y(0,1).
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,1
y1 =
3.Suites et sériesMoyen
Appliquez le test de la racine à Σk=1∞ ((2k + 3)/(3k + 5))ᵏ. Trouvez L = lim |ak|1/k.
ak = ((2k + 3)/(3k + 5))ᵏ
L =
4.Suites et sériesDifficile
Reconnaissez la série et trouvez sa somme : S = Σk=1∞ k·0,25ᵏ.
ak = k·0,25ᵏ
S =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [−1 2 4; −2 −5 1; −3 5 2]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Résous le système −x − 3y = −1 et 6x − 2y = −10. Trouve x.
−x − 3y = −16x − 2y = −10
x =
7.Équations différentiellesMoyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,08 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 18 min.
T0 = 3 °CTa = 23 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 18 min
T = °C
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 200 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 30 min ?
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: s = 125 m
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Somme pondérée
5 + 2·4 + 2·7 + 2·7 + 9 = 50
Méthode des trapèzes
s = (5/2)·50 = 125 m
Réponse
s = 125 m
2.Méthodes numériques
Réponse: y1 = 0,09967
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Racine des termes
|ak|1/k = (2k + 3)/(3k + 5) → 2/3
Conclusion
L = 0,6667 < 1
Réponse
L = 0,6667
L < 1, donc la série converge.
4.Suites et séries
Réponse: S = 0,4444
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Séries usuelles
Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²
Remplacer
x = 0,25
S = 0,25/(1 − 0,25)² = 0,4444
Réponse
S = 0,4444
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = −83
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = −15, M₁₂ = −1, M₁₃ = −25
Développement par cofacteurs
det A = (−1)·(−15) − 2·(−1) + 4·(−25) = −83
Réponse
det A = −83
6.Matrices et déterminants
Réponse: x = −1,4
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Déterminant de la matrice des coefficients
det A = (−1)·(−2) − (−3)·6 = 20
Remplacer la colonne de x
det Aₓ = (−1)·(−2) − (−3)·(−10) = −28
x = −28/20 = −1,4
Réponse
x = −1,4
y = 0,8
7.Équations différentielles
Réponse: T = 18,26 °C
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Solution de la loi de refroidissement
T(t) = 23 + (−20)·e−0,08t
Remplacer t
T(18) = 23 + (−20)·0,2369 = 18,26 °C
Réponse
T = 18,26 °C
8.Équations différentielles
Réponse: m = 17,77 kg
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Mettre en équation
dm/dt = 10·0,1 − (10/200)·m = 1 − 0,05·m
Résoudre
Le facteur intégrant est ert/V ; la solution tend vers l’équilibre c·V.