Méthodes numériques : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 8 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Méthodes numériques

Dichotomie: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolation linéaire: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Méthode des trapèzes: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Méthode de Simpson (n pair): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Majoration de l’erreur des trapèzes: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Méthode

Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.

Suites et séries

Suite arithmétique: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence: R = lim |c_k/c_k+1|
Polynôme de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Méthode

Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrices et déterminants

déterminant 2×2: det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Valeurs propres: det(A − λI) = 0
Règle de Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Équations différentielles

Croissance/décroissance exponentielle: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Demi-vie: k = ln 2 / t_½
Loi de refroidissement de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Facteur intégrant: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Cuve de mélange: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercices

1.Méthodes numériquesMoyen

Approchez ∫₀² e^−x² dx par la méthode des trapèzes avec n = 4 bandes. Donnez T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 2]n = 4

T =

2.Méthodes numériquesDifficile

Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = t − y, y(0) = 3 afin d’estimer y₅ ≈ y(1,25).

y′ = t − yy(0) = 3h = 0,25

y₅ =

3.Suites et sériesMoyen

Trouvez le rayon de convergence R de la série entière Σ_k=1^∞ 25ᵏx²ᵏ/k.

Σ 25ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Suites et sériesDifficile

Reconnaissez la série et trouvez sa somme : S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ·2^2k+1/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ·2^2k+1/(2k + 1)!

S =

5.Matrices et déterminantsMoyen

Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.

A = [3 −4 −2; −4 0 0; 5 −4 −1]

det A =

6.Matrices et déterminantsDifficile

Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.

A = [5 −2; −4 −2]

λ =

7.Équations différentiellesMoyen

Une pièce d’acier forgé à 400 °C refroidit dans un atelier à 28 °C. Au bout de 44 min, sa température est de 92 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T₀ = 400 °CT_a = 28 °CT(44) = 92 °C

k = min⁻¹

8.Équations différentiellesDifficile

Résolvez y′ + 0,5y = 5e^−3t avec y(0) = 3. Trouvez y(0,5).

y′ + 0,5y = 5e^−3ty(0) = 3

y(0.5) =

3Solutions

1.Méthodes numériques

Réponse: T = 0,8806

Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.

Nœuds et valeurs

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,778801 + 2·0,367879 + 2·0,105399 + 0,0183156 = 3,522475

Méthode des trapèzes

T = (0,5/2)·3,522475 = 0,8806

Réponse

T = 0,8806

Cette intégrale n’a pas de primitive élémentaire, ce qui est exactement le cas où une méthode numérique est nécessaire.

2.Méthodes numériques

Réponse: y₅ = 1,199

Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.

Pas d’Euler

y₁ = 3 + 0,25·(−3) = 2,25

y₂ = 2,25 + 0,25·(−2) = 1,75

y₃ = 1,75 + 0,25·(−1,25) = 1,4375

y₄ = 1,4375 + 0,25·(−0,6875) = 1,265625

y₅ = 1,265625 + 0,25·(−0,265625) = 1,199219

Graphique

y₅ = 1,199

Réponse

y₅ = 1,199

La valeur exacte est y(1,25) = 1,396019.

3.Suites et séries

Réponse: R = 0,2

Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |a_k+1/a_k| ; test de la racine : L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σc_k(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |c_k/c_k+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.

Coefficients

La série est en x² : elle converge pour 25·x² < 1, donc |x| < 1/5.

Rayon

R = 0,2

Réponse

R = 0,2

Le test du rapport ne dit rien aux deux extrémités ; il faut les vérifier séparément.

4.Suites et séries

Réponse: S = 0,9093

Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.

Séries usuelles

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Remplacer

x = 2

S = sin 2 = 0,9093

Réponse

S = 0,9093

5.Matrices et déterminants

Réponse: det A = −16

Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.

Mineurs 2×2 de la première ligne

M₁₁ = 0, M₁₂ = 4, M₁₃ = 16

Développement par cofacteurs

det A = 3·0 − (−4)·4 + (−2)·16 = −16

Réponse

det A = −16

6.Matrices et déterminants

Réponse: λ = 6

Équation caractéristique

λ² − (3)λ + (−18) = 0

Résoudre

λ = (3 ± √(81))/2 → λ = −3, 6

λ = 6

Réponse

λ = 6

7.Équations différentielles

Réponse: k = 0,04 min⁻¹

Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·e^kt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e^{∫p dx} : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.

Rapport des écarts de température

e^−44k = 64/372

Résoudre pour k

k = ln(372/64)/44 = 0,04 min⁻¹

Réponse

k = 0,04 min⁻¹

8.Équations différentielles

Réponse: y(0.5) = 3,448

Facteur intégrant

μ = e^0,5t

(e^0,5ty)′ = 5e^−2,5t

Solution générale

y = 5/(−2,5)·e^−3t + C·e^−0,5t = −2·e^−3t + C·e^−0,5t

Condition initiale

3 = −2 + C → C = 5

Évaluer

y(0,5) = −2·0,2231 + 5·0,7788 = 3,448

Réponse

y(0,5) = 3,448

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