Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
Approchez ∫02 sin x dx par la méthode de Simpson, n = 2, et comparez avec la valeur exacte. Trouvez l’erreur absolue |E| = |S − I|.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.Méthodes numériquesDifficile
Utilisez la méthode de Heun (Euler amélioré) avec h = 0,1 pour y′ = −0,5y, y(0) = −1 afin d’estimer y2 ≈ y(0,2).
y′ = −0,5yy(0) = −1h = 0,1
y2 =
3.Suites et sériesMoyen
Trouvez la somme S = Σk=1∞ 4/(k(k + 3)).
ak = 4/(k(k + 3))
S =
4.Suites et sériesDifficile
Reconnaissez la série et trouvez sa somme : S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·0,82k/(2k)!.
ak = (−1)ᵏ·0,82k/(2k)!
S =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Calcule le déterminant det A de la matrice 3×3 A représentée.
A = [−2 −3 3; 2 3 3; 2 −2 5]
det A =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Trouve la plus grande valeur propre λ de la matrice A représentée.
A = [6 −2; 4 −3]
λ =
7.Équations différentiellesMoyen
Une pièce d’acier forgé à 360 °C refroidit dans un atelier à 26 °C. Au bout de 18 min, sa température est de 305 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 26 °CT(18) = 305 °C
k = min⁻¹
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 15 min ?
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: |E| = 0,008914
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Valeur exacte
I = 1,416147
Méthode de Simpson
S = (1/3)·(0 + 4·0,841471 + 0,909297) = 1,42506
Erreur
|E| = |1,42506 − 1,416147| = 0,008914
Réponse
|E| = 0,008914
Erreur relative : 0,6294 %.
2.Méthodes numériques
Réponse: y2 = −0,9049
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Décomposition en éléments simples
4/(k(k + 3)) = (4/3)·(1/k − 1/(k + 3))
Annuler
S = (4/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 2,444
Réponse
S = 2,444
4.Suites et séries
Réponse: S = 0,6967
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Séries usuelles
Σ (−1)ᵏx2k/(2k)! = cos x
Remplacer
x = 0,8
S = cos 0,8 = 0,6967
Réponse
S = 0,6967
5.Matrices et déterminants
Réponse: det A = −60
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Mineurs 2×2 de la première ligne
M₁₁ = 21, M₁₂ = 4, M₁₃ = −10
Développement par cofacteurs
det A = (−2)·21 − (−3)·4 + 3·(−10) = −60
Réponse
det A = −60
6.Matrices et déterminants
Réponse: λ = 5
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Équation caractéristique
λ² − (3)λ + (−10) = 0
Résoudre
λ = (3 ± √(49))/2 → λ = −2, 5
λ = 5
Réponse
λ = 5
7.Équations différentielles
Réponse: k = 0,009996 min⁻¹
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Rapport des écarts de température
e−18k = 279/334
Résoudre pour k
k = ln(334/279)/18 = 0,009996 min⁻¹
Réponse
k = 0,009996 min⁻¹
8.Équations différentielles
Réponse: m = 14,72 kg
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Mettre en équation
dm/dt = 5·0,1 − (5/100)·m = 0,5 − 0,05·m
Résoudre
Le facteur intégrant est ert/V ; la solution tend vers l’équilibre c·V.