Pour une racine : vérifiez le changement de signe pour la dichotomie, ou calculez f et f′ pour Newton, et gardez six chiffres ou plus dans un tableau d’itérés.
Pour une valeur de tableau : interpolez linéairement entre les deux points voisins.
Pour une intégrale : trouvez h = (b − a)/n, listez f en chaque nœud, appliquez les poids (1, 2, …, 2, 1 pour les trapèzes ; 1, 4, 2, …, 4, 1 pour Simpson avec n pair) et multipliez par h/2 ou h/3.
Pour une équation différentielle : avance depuis t₀ avec yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou la pente moyenne (Heun), une ligne par pas, jusqu’à atteindre le t demandé.
Suites et séries
Suite arithmétique
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Suite géométrique
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série géométrique infinie
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série de Riemann
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Test du rapport
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Rayon de convergence
R = lim |ck/ck+1|
Polynôme de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Majoration de l’erreur de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Méthode
Identifiez le type : arithmétique (différence constante), géométrique (rapport constant), une série usuelle, une série entière ou un polynôme de Taylor.
Pour les sommes, utilisez Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quand |r| < 1, avec a₁ le premier terme de la somme.
Pour la convergence : d’abord le test du terme général, puis comparez avec Σ1/kᵖ ou une série géométrique, et utilisez le test du rapport ou de la racine pour les factorielles et les puissances k-ièmes.
Pour les polynômes de Taylor, listez f(a), f′(a), f″(a), …, divisez la dérivée k-ième par k!, et majore l’erreur par M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices et déterminants
déterminant 2×2
det = ad − bc
Inverse d’une matrice 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produit
(AB)ij = Σk AikBkj
Valeurs propres
det(A − λI) = 0
Règle de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Équations différentielles
Croissance/décroissance exponentielle
dy/dt = ky → y = y0ekt
Demi-vie
k = ln 2 / t½
Loi de refroidissement de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Facteur intégrant
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Cuve de mélange
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercices
1.Méthodes numériquesMoyen
La méthode des trapèzes est utilisée pour ∫02 eˣ dx. L’erreur est au plus (b − a)³·M/(12n²) avec M = max|f″| sur [0, 2]. Trouvez le plus petit nombre de bandes n qui garantit une erreur inférieure à 0,0005.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
2.Méthodes numériquesDifficile
Utilisez la méthode d’Euler avec h = 0,25 pour y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 afin d’estimer y5 ≈ y(1,25).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,25
y5 =
3.Suites et sériesMoyen
Appliquez le test du rapport à Σk=1∞ k·4ᵏ/3ᵏ. Trouvez L = lim |ak+1/ak|.
ak = k·4ᵏ/3ᵏ
L =
4.Suites et sériesDifficile
f(x) = cos x est approchée en x = 2 par son polynôme de Maclaurin de degré n. Avec la majoration de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! et M = 1, trouvez le plus petit degré n qui garantit une erreur inférieure à 0,001.
f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 0,001
n =
5.Matrices et déterminantsMoyen
Soit C = AB pour les matrices représentées. Trouve le coefficient c21 (ligne 2, colonne 1).
A = [−4 −5; −2 −2]B = [−5 3; 4 1]
c21 =
6.Matrices et déterminantsDifficile
Résous le système −3x + 5y = 9 et −5x + y = 6. Trouve x.
−3x + 5y = 9−5x + y = 6
x =
7.Équations différentiellesMoyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 23 min, sa température est de 21 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 13 °C ?
T0 = 5 °CTa = 23 °CT(23) = 21 °CT = 13 °C
t = min
8.Équations différentiellesDifficile
Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 45 kg de sel ?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
3Solutions
1.Méthodes numériques
Réponse: n = 100
Intégration numérique : découpe [a, b] en n bandes de largeur h = (b − a)/n avec les nœuds x₀ … xₙ. Méthode des trapèzes : T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Méthode de Simpson (n pair) : S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. L’erreur des trapèzes décroît comme h² (majoration (b − a)h²·M/12 avec M = max|f″|), celle de Simpson comme h⁴, donc Simpson est en général bien plus précise pour les mêmes nœuds.
Majoration de la dérivée seconde
M = e2 = 7,389
Résoudre pour n
n² > 8·7,389/(12·0,0005) = 9852
n > 99,26 → n = 100
Réponse
n = 100
2.Méthodes numériques
Réponse: y5 = 1,022
Résolution numérique de y′ = f(t, y) : la méthode d’Euler avance selon la pente au début de chaque pas : yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). La méthode de Heun (Euler amélioré) moyenne la pente au début et à une prédiction d’Euler : k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). La méthode de Runge–Kutta classique (RK4) combine quatre pentes : yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). L’erreur globale d’Euler est proportionnelle à h, celle de Heun à h², celle de RK4 à h⁴.
Pas d’Euler
y₁ = 0,2 + 0,25·(0,36) = 0,29
y₂ = 0,29 + 0,25·(0,4959) = 0,413975
y₃ = 0,413975 + 0,25·(0,656575) = 0,578119
y₄ = 0,578119 + 0,25·(0,822016) = 0,783623
y₅ = 0,783623 + 0,25·(0,953181) = 1,021918
Graphique
y5 = 1,022
Réponse
y5 = 1,022
La valeur exacte est y(1,25) = 1,150242.
3.Suites et séries
Réponse: L = 1,333
Convergence : si les termes ne tendent pas vers 0, la série diverge (test du terme général). Σ1/kᵖ ne converge que pour p > 1, et Σrᵏ que pour |r| < 1. Comparez une série à l’une d’elles quand ses termes se comportent comme celles-ci pour k grand. Test du rapport : L = lim |ak+1/ak| ; test de la racine : L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 ne décide rien. Une série entière Σck(x − x₀)ᵏ converge pour |x − x₀| < R avec R = lim |ck/ck+1| ; une série alternée dont les termes décroissent vers 0 converge.
Rapport de termes consécutifs
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)·4/3 → 4/3
Conclusion
L = 1,333 > 1
Réponse
L = 1,333
L > 1, donc la série diverge.
4.Suites et séries
Réponse: n = 9
Polynômes de Taylor : près de x = a, une fonction régulière est approchée par Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ; pour a = 0, c’est le polynôme de Maclaurin. Séries usuelles : eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Majoration de l’erreur de Lagrange : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est la plus grande valeur de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
Majorations pour n croissant
n = 8: 0,001411 ≥ 0,001
n = 9: 0,0002822 < 0,001
Plus petit degré
n = 9
Réponse
n = 9
5.Matrices et déterminants
Réponse: c21 = 2
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Ligne fois colonne
c21 = (−2)·(−5) + (−2)·4 = 2
Réponse
c21 = 2
6.Matrices et déterminants
Réponse: x = −0,9545
Matrices : le déterminant d'une matrice 2×2 est ad − bc. Pour une 3×3, développe selon une ligne : chaque coefficient multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 qui reste après avoir rayé sa ligne et sa colonne, avec des signes alternés + − +. Les valeurs propres λ vérifient det(A − λI) = 0 ; en 2×2 c'est λ² − (trace)·λ + det = 0.
Déterminant de la matrice des coefficients
det A = (−3)·1 − 5·(−5) = 22
Remplacer la colonne de x
det Aₓ = 9·1 − 5·6 = −21
x = −21/22 = −0,9545
Réponse
x = −0,9545
y = 1,227
7.Équations différentielles
Réponse: t = 6,153 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.
Constante de refroidissement
k = ln(-18/-2)/23 = 0,09553 min⁻¹
Temps pour atteindre la valeur visée
t = ln(-18/(−10))/0,09553 = 6,153 min
Réponse
t = 6,153 min
8.Équations différentielles
Réponse: t = 90,73 min
Équations différentielles du premier ordre : dy/dt = k·y a pour solution y = y₀·ekt (croissance pour k > 0, décroissance pour k < 0) ; une demi-vie T donne k = ln 2/T. La loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), donne T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Une équation linéaire y′ + p(x)·y = q(x) se résout avec le facteur intégrant μ = e∫p dx : (μy)′ = μq, donc μy = ∫μq dx + C.