Physique 2 : électricité et magnétisme : pack de révision

Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.

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1Formules et méthodes

Loi de Coulomb et champ électrique

Loi de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Champ d’une charge ponctuelle: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Force sur une charge: F = q·E

Résistances en série et en parallèle

Résistances en série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Résistances en parallèle: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Deux en parallèle: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Loi d’Ohm: V = I·R
Puissance: P = V·I = I²R = V²/R

Méthode

Commencez par l’extrémité du réseau la plus éloignée des bornes.
Associez les résistances en série en les additionnant, et les résistances en parallèle avec 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redessinez le circuit après chaque étape.
Recommencez jusqu’à ce qu’il ne reste qu’une résistance entre les bornes.

Transitoires RC et RL

Constante de temps: τ = RC | τ = L/R
Réponse: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensateur en continu: circuit ouvert ; v_C ne peut pas sauter
Bobine en continu: court-circuit ; i_L ne peut pas sauter
Régime établi: t ≈ 5τ

Méthode

Trouvez la valeur initiale juste après la commutation : la tension d’un condensateur et le courant d’une bobine ne peuvent pas varier brusquement.
Trouvez la valeur finale longtemps après la commutation : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert, une bobine comme un court-circuit.
Trouvez la constante de temps : τ = RC ou τ = L/R, avec la résistance vue par le condensateur ou la bobine.
Utilisez x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Champs magnétiques et induction

Long fil rectiligne: B = μ₀I/(2πr)
Centre d’une bobine plate: B = μ₀NI/(2R)
Long solénoïde: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Force sur un fil: F = BIL·sin θ
Force sur une charge: F = |q|vB·sin θ
Mouvement circulaire: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fils parallèles: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flux: Φ = BA·cos θ
Loi de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Tige en mouvement: ε = BLv
Alternateur: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Inductance: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Inductance mutuelle: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Sélecteur de vitesse et spectromètre: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Méthode

Convertissez chaque grandeur en unités SI : cm en m, cm² en m², mT et µT en T.
Choisissez la bonne formule : B = μ₀I/(2πr) pour un fil, μ₀NI/(2R) pour le centre d’une bobine, μ₀nI à l’intérieur d’un solénoïde ; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ pour les forces.
Pour l’induction, trouvez la variation de flux ΔΦ = Δ(BA·cos θ) et utilisez ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv pour une tige en mouvement et NBAω pour une bobine tournante.
Trouvez les sens séparément avec les règles de la main droite, et avec la loi de Lenz pour les courants induits.

Impédance et phaseurs en alternatif

Impédances: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsation: ω = 2πf
Module et argument: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Loi d’Ohm en phaseurs: V = I·Z

Méthode

Convertissez la fréquence : ω = 2πf.
Trouvez chaque réactance : X_L = ωL et X_C = 1/(ωC).
Additionnez les impédances comme des résistances, avec Z = R + jX.
Trouvez le module |Z| = √(R² + X²) et l’argument φ = atan(X/R), puis appliquez la loi d’Ohm avec les phaseurs.

2Exercices

1.Loi de Coulomb et champ électriqueMoyen

Des charges de +1 µC et +2 µC sont distantes de 20 cm. À quelle distance x de la charge de +1 µC, sur le segment qui les relie, le champ électrique est-il nul ?

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 20 cm

x = cm

2.Loi de Coulomb et champ électriqueDifficile

Deux petites boules identiques, chacune de masse 1 g, sont suspendues au même point par des fils isolants de 30 cm. On leur donne des charges égales et chaque fil se stabilise à 5° de la verticale. Prenez g = 9,81 m/s². Trouvez la charge q de chaque boule en nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 30 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Résistances en série et en parallèleMoyen

Trouvez la résistance équivalente R_eq vue par la source V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Résistances en série et en parallèleDifficile

Trouvez le courant I_R1 fourni par la source, qui traverse R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.Transitoires RC et RLMoyen

La bobine n’est parcourue par aucun courant avant la fermeture de l’interrupteur à t = 0. Trouvez l’énergie W stockée dans la bobine à t = 5 ms, en mJ.

V_s = 24 VR = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitoires RC et RLDifficile

L’interrupteur est fermé depuis longtemps, donc le circuit est en régime permanent. À t = 0, l’interrupteur s’ouvre. Trouvez la tension du condensateur v_C à t = 50 ms.

V_s = 30 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 33 µFt = 50 ms

v_C = V

7.Champs magnétiques et inductionMoyen

Un proton se déplaçant à 3 × 10⁶ m/s entre dans un champ magnétique uniforme à angle droit et décrit un cercle de rayon 3,916 cm. Trouvez le champ magnétique B.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sr = 3,916 cm

B = T

8.Champs magnétiques et inductionDifficile

Dans un sélecteur de vitesse, des champs croisés E = 5 × 10⁵ V/m et B = 0,25 T ne laissent passer en ligne droite que les ions d’une seule vitesse. Trouvez cette vitesse v.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 T

v = m/s

9.Impédance et phaseurs en alternatifMoyen

Un circuit RLC série est alimenté sous 12 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez le courant efficace I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.Impédance et phaseurs en alternatifDifficile

Un circuit RLC série est alimenté sous 100 V (efficaces), 1000 Hz. Trouvez la fréquence de résonance f₀ du circuit.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Solutions

1.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: x = 8,284 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Champs égaux

1/x² = 2/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(2/1) = 1,414

Position

x = 20/(1 + 1,414) = 8,284 cm

Réponse

x = 8,284 cm

Le point de champ nul est toujours plus proche de la plus petite charge.

2.Loi de Coulomb et champ électrique

Réponse: q = 16,16 nC

Force électrique d’après l’équilibre

La composante horizontale de la tension équilibre F, sa composante verticale équilibre m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 5° = 0,0008583 N

Distance entre les boules

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 5° = 0,05229 m

Charge

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05229·√(0,0008583/8,99 × 10⁹) = 1,616 × 10⁻⁸ C = 16,16 nC

Réponse

q = 16,16 nC

3.Résistances en série et en parallèle

Réponse: R_eq = 11,88 Ω

Résistances en série et en parallèle : en série, le même courant traverse chaque résistance et R = R₁ + R₂ + …. En parallèle, chaque résistance a la même tension et 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Un réseau en échelle se réduit paire par paire jusqu’à une seule résistance équivalente.

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

Commencez par l’extrémité la plus éloignée de la source et remontez vers elle. Des résistances parcourues par le même courant sont en série ; des résistances entre les deux mêmes nœuds sont en parallèle.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6,875 Ω

R_eq = R₁ + 6,875 = 5 + 6,875 = 11,88 Ω

Réponse

R_eq = 11,88 Ω

4.Résistances en série et en parallèle

Réponse: I_R1 = 0,8903 A

Regrouper les résistances depuis l’extrémité

R₅ + R₆ = 8 + 6 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 2,471 Ω

R₃ + 2,471 = 22,47 Ω

R₂ ∥ 22,47 = 12,85 Ω

R_eq = R₁ + 12,85 = 4 + 12,85 = 16,85 Ω

Courant fourni par la source

La source ne voit que R_eq, donc la loi d’Ohm donne le courant qu’elle fournit. Ce courant traverse R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,85 = 0,8903 A

Réponse

I_R1 = 0,8903 A

5.Transitoires RC et RL

Réponse: W = 26,48 mJ

Régimes transitoires du premier ordre : dans un circuit avec un condensateur ou une bobine, chaque tension et chaque courant passe exponentiellement de sa valeur initiale à sa valeur finale : x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, avec τ = RC ou τ = L/R. Après environ 5τ, le circuit est stabilisé.

Constante de temps et courant final

Longtemps après la fermeture, la bobine se comporte comme un court-circuit, donc le courant final est fixé par R seule.

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 24/22 = 1,091 A

Courant à l’instant donné

i(t) = 1,091·(1 − e^−5/4,545) = 0,7278 A

Énergie stockée

W = ½·L·i² = ½·100·0,7278² = 26,48 mJ

Réponse

W = 26,48 mJ

6.Transitoires RC et RL

Réponse: v_C = 8,882 V

Tension initiale du condensateur

En régime permanent, le condensateur est un circuit ouvert, donc R₁ et R₂ forment un diviseur de tension. La tension du condensateur ne peut pas varier brusquement à l’ouverture de l’interrupteur.

v_C(0) = 30·4,7/(6,8 + 4,7) = 12,26 V

Constante de temps après l’ouverture de l’interrupteur

τ = R₂·C = 4,7·33 = 155,1 ms

Décharge

v_C(t) = 12,26·e^−50/155,1 = 8,882 V

Réponse

v_C = 8,882 V

7.Champs magnétiques et induction

Réponse: B = 0,8 T

Forces magnétiques : un fil rectiligne parcouru par I dans un champ B subit F = BIL·sin θ, et une charge en mouvement F = |q|vB·sin θ, où θ est l’angle entre le courant (ou la vitesse) et B. La force est perpendiculaire aux deux : pointez les doigts de la main droite le long de I ou v, enroulez-les vers B, et le pouce donne F pour une charge positive ; inversez le sens pour une charge négative. Comme F est perpendiculaire à v, une charge qui traverse un champ uniforme décrit un cercle : |q|vB = mv²/r donne r = mv/(|q|B) et la période T = 2πm/(|q|B), qui ne dépend pas de la vitesse. Deux fils parallèles s’attirent quand les courants sont de même sens : F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Champ à partir du rayon

B = mv/(|q|r) = 1,673 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,03916) = 0,8 T

Réponse

B = 0,8 T

8.Champs magnétiques et induction

Réponse: v = 2 × 10⁶ m/s

Vitesse sélectionnée

Sans déviation : la force électrique qE équilibre la force magnétique qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,25 = 2 × 10⁶ m/s

Réponse

v = 2 × 10⁶ m/s

9.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: I = 0,1552 A

Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.

Réactances

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impédance

En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−66,15)²) = 77,3 Ω

Courant

Le même courant traverse tous les éléments d’un circuit série.

I = V/|Z| = 12/77,3 = 0,1552 A

Réponse

I = 0,1552 A

10.Impédance et phaseurs en alternatif

Réponse: f₀ = 1125 Hz

Résonance

À la résonance, les réactances inductive et capacitive s’annulent : ωL = 1/(ωC). La fréquence d’alimentation n’intervient pas.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

Réponse

f₀ = 1125 Hz

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