Formulaires, étapes clés de la méthode pour chaque thème et 10 exercices, avec les corrigés complets à la fin.
Une charge équilibrée couplée en triangle (Δ), d’impédance 18 + j24 Ω par phase, est branchée sur un réseau triphasé équilibré de tension composée 415 V. Trouvez la puissance active totale P absorbée par la charge, en kW.
Une charge triphasée équilibrée absorbe 60 kW avec un facteur de puissance de 0,78 (inductif) sur un réseau de 480 V (tension composée), 50 Hz. Une batterie de condensateurs triphasée branchée en parallèle avec la charge doit relever le facteur de puissance global à 0,92 (inductif). La puissance active reste la même. Les condensateurs sont couplés en triangle (Δ). Trouvez la capacité Cph de chaque condensateur, en µF.
Une résistance de 75 Ω est branchée aux bornes de l’enroulement secondaire d’un transformateur parfait de rapport N₁:N₂ = 10:1. Trouvez la résistance R1′ vue depuis l’enroulement primaire.
Un transformateur monophasé de 75 kVA a des pertes fer de 450 W et des pertes cuivre de 1125 W à charge nominale. À quelle charge Sη,max, en kVA, son rendement est-il maximal ?
Une charge inductive absorbe 15 A et 3060 W sur une alimentation monophasée de 240 V (efficace). Modélisez-la par une résistance R en série avec une réactance X. Trouvez R.
Une charge monophasée absorbe 12 kW avec un facteur de puissance de 0,65 inductif sur une alimentation de 400 V, 60 Hz. Un condensateur de 33 µF est branché en parallèle sur la charge. Trouvez le nouveau facteur de puissance cos φ vu par l’alimentation.
Un circuit RLC série est alimenté sous 100 V (efficaces), 50 Hz. Trouvez le déphasage φ de l’impédance, en degrés (positif quand le courant est en retard sur la tension).
Un circuit RLC série est alimenté par une source de 2 V (efficace) dont la fréquence est réglée sur la fréquence de résonance du circuit. Trouvez la tension efficace VL aux bornes de la bobine.
Un moteur à courant continu fournit 0,75 kW de puissance mécanique à 2900 rpm. Trouvez le couple sur l’arbre T.
Un moteur à courant continu (k = 0,6 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) alimenté sous une tension fixe de 120 V entraîne une charge de 15 N·m. Trouvez la résistance en série Rs qui le ralentit à 750 rpm.
Réponse: P = 10,33 kW
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Seule la partie résistive de chaque impédance absorbe de la puissance active.
Vérification : cos φ = R/|Z| = 0,6, et √3·VL·IL·cos φ donne la même puissance.
Réponse: Cph = 104 µF
Systèmes triphasés équilibrés : en couplage étoile (Y), la tension composée vaut √3 fois la tension simple, VL = √3·Vph, et le courant de ligne est égal au courant de phase. En couplage triangle (Δ), la tension composée est égale à la tension de phase et le courant de ligne vaut √3 fois le courant de phase, IL = √3·Iph. La puissance totale vaut trois fois la puissance d’une phase : P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Compensation du facteur de puissance : les condensateurs fournissent localement de la puissance réactive, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Chacun des trois condensateurs fournit QC/3 = V²·ω·C, où V est la tension aux bornes de ce condensateur : VL dans une batterie en triangle, VL/√3 dans une batterie en étoile.
La puissance active ne change pas ; chaque facteur de puissance fixe donc la puissance réactive : Q = P·tan φ.
Dans une batterie en triangle, chaque condensateur est branché entre deux phases.
Réponse: R1′ = 7500 Ω
Transformateur parfait : les tensions sont dans le rapport des nombres de spires et les courants dans le rapport inverse : V₁/V₂ = N₁/N₂ = a et I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a ; la puissance absorbée est donc égale à la puissance fournie, V₁·I₁ = V₂·I₂. Une impédance de charge Z au secondaire est vue comme a²·Z depuis le primaire.
La tension est multipliée par a et le courant divisé par a ; le rapport V/I est donc multiplié par a².
Réponse: Sη,max = 47,43 kVA
Pertes d’un transformateur : les pertes fer (hystérésis et courants de Foucault) dépendent de la tension et sont les mêmes quelle que soit la charge. Les pertes cuivre dans les enroulements varient comme le carré du courant : à une fraction x de la charge nominale, elles valent x²·Pcu,fl. Rendement η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), avec Pout = x·S·pf. Le rendement est maximal pour la charge à laquelle les pertes cuivre égalent les pertes fer.
Réponse: R = 13,6 Ω
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
Réponse: cos φ = 0,706
Puissance en alternatif : la puissance apparente S = V·I (VA) se partage entre la puissance active P = S·cos φ (W), qui fournit un travail utile, et la puissance réactive Q = S·sin φ (var), qui fait des allers-retours entre source et charge. Le facteur de puissance est cos φ. Un condensateur en parallèle fournit la puissance réactive sur place, donc le courant de ligne baisse pour la même puissance active.
La puissance active P ne change pas ; seule la puissance réactive prélevée sur le réseau change.
Réponse: φ = −86,18 °
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
En série, les impédances s’additionnent comme des nombres complexes : Z = R + j(XL − XC).
Réponse: VL = 5,963 V
Circuits alternatifs et phaseurs : résistances, bobines et condensateurs ont pour impédances R, jωL et 1/(jωC), avec ω = 2πf. En série, les impédances s’additionnent comme des résistances, mais en nombres complexes. Courant et tension efficaces suivent la loi d’Ohm avec |Z|.
À la résonance, les réactances s’annulent, donc l’impédance se réduit à R.
Cela fait Q = 2,981 fois la tension d’alimentation.
Réponse: T = 2,47 N·m
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
Réponse: Rs = 2,415 Ω
Moteur à courant continu : l’induit est une résistance Ra en série avec la force contre-électromotrice E, donc V = E + Ia·Ra. La force contre-électromotrice croît avec la vitesse, E = k·ω, et le couple avec le courant, T = k·Ia, avec la même constante de moteur k (V·s/rad = N·m/A) en unités SI. Convertissez les vitesses avec ω = 2π·n/60. La puissance développée est E·Ia = T·ω ; la puissance d’entrée est V·Ia, et la différence correspond aux pertes par effet Joule Ia²Ra et aux pertes mécaniques. La vitesse diminue linéairement avec le couple, ω = V/k − Ra·T/k², de la vitesse à vide V/k jusqu’à zéro au couple de blocage k·V/Ra. À l’arrêt, E = 0, donc le courant de démarrage V/Ra est élevé, sauf si une résistance le limite.
La résistance dissipe 1509 W ; un hacheur règle la vitesse avec bien moins de pertes.
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